Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: temos uma expressão racional (fração de dois polinômios) em que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios em
. A variável
tende para
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Estratégia prática (sem resolver ainda): uma técnica padrão para limites quando
e aparecem polinômios é dividir numerador e denominador pelo maior potência de
que aparece (aqui é
). Isso simplifica a expressão em termos de frações que tendem a zero, o que facilita a avaliação do limite. Agora aplicamos essa ideia.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Escrevo a expressão de forma equivalente:
Expliquei o passo: fatorizei
tanto no numerador quanto no denominador; dentro dos parênteses apareceram termos
e
.
Passo 4
Agora analiso os termos que dependem de
. Para
vale que
Breve justificativa didática: quando
cresce muito,
fica cada vez menor porque você está dividindo um número fixo por um número que cresce sem limite; por exemplo, para
temos
, para
temos
etc. O mesmo vale para
, que decai ainda mais rápido.
Passo 5
Substituo os limites dos termos na expressão simplificada:
Portanto o limite da expressão original é
.
Passo 6
Comentário didático extra (ajuda na prova): existe também uma regra rápida para frações de polinômios quando
:
- Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite será
(ou não existir finito). - Se o grau do numerador é menor que o do denominador, o limite é
.
No nosso caso os graus são iguais (e ) e os coeficientes líderes são ambos , então o limite é . Exemplos rápidos: ; .