Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3 x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-1}.
Informações dadas: temos uma expressão racional (fração de dois polinômios) em que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios em x. A variável x tende para +\infty. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Estratégia prática (sem resolver ainda): uma técnica padrão para limites quando x\to\infty e aparecem polinômios é dividir numerador e denominador pelo maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso simplifica a expressão em termos de frações que tendem a zero, o que facilita a avaliação do limite. Agora aplicamos essa ideia.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{2}. Escrevo a expressão de forma equivalente:
\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-1}=\frac{x^{2}\bigl(1+\dfrac{3x}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(1-\dfrac{1}{x^{2}}\bigr)} =\frac{1+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Expliquei o passo: fatorizei x^{2} tanto no numerador quanto no denominador; dentro dos parênteses apareceram termos \dfrac{3}{x} e \dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Agora analiso os termos que dependem de x. Para x\to\infty vale que
\lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
Breve justificativa didática: quando x cresce muito, 3/x fica cada vez menor porque você está dividindo um número fixo por um número que cresce sem limite; por exemplo, para x=100 temos 3/x=0{,}03, para x=1000 temos 0{,}003 etc. O mesmo vale para 1/x^{2}, que decai ainda mais rápido.

Passo 5

Substituo os limites dos termos na expressão simplificada:
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}} =\frac{1+0}{1-0}=1.
Portanto o limite da expressão original é 1.

Passo 6

Comentário didático extra (ajuda na prova): existe também uma regra rápida para frações de polinômios quando x\to\infty:
  • Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite será \pm\infty (ou não existir finito).
  • Se o grau do numerador é menor que o do denominador, o limite é 0.
    No nosso caso os graus são iguais ( 2 e 2) e os coeficientes líderes são ambos 1, então o limite é 1. Exemplos rápidos: \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=+\infty; \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^{2}}=0.

Resposta

1

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