Calcule os limites laterais solicitados:
Para h(x)=\frac{|x|}{x}, calcule:
(a) lim _{x \rightarrow 0^{+}} h(x)
(b) lim _{x \rightarrow 0^{-}} h(x)
(c) lim _{x \rightarrow 0} h(x)

Passo 1

O enunciado dá a função h definida por h(x)=\dfrac{|x|}{x} e pede três limites:
(a) \lim_{x\to 0^{+}} h(x)
(b) \lim_{x\to 0^{-}} h(x)
(c) \lim_{x\to 0} h(x)
Informações relevantes fornecidas: a função usa o valor absoluto |x| e divide por x, portanto a expressão está bem definida para x\neq 0 e potencialmente problemática em x=0. Aqui listamos apenas o que o enunciado dá e o que pede.

Passo 2

Entenda bem o valor absoluto: a definição peça‑por‑peça de |x|\) é \[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Isto significa que para x\] positivo o valor absoluto devolve \(x e para x negativo devolve o número positivo -x. Essa definição vai permitir simplificar h(x) dependendo do sinal de x.]

Passo 3

Vamos simplificar h(x)=\dfrac{|x|}{x} em cada região (isso é um passo padrão: usar a definição por partes do módulo).
Para x>0 temos |x|=x, então
h(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1\quad\text{para }x>0.
Para x<0 temos |x|=-x, então
h(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1\quad\text{para }x<0.
Também observe que em x=0 a expressão é \dfrac{|0|}{0}=\dfrac{0}{0}, que é indefinida, então h(0) não está definida.

Passo 4

Revisão rápida do que é limite lateral: \lim_{x\to 0^{+}} h(x) significa o valor para o qual h(x) se aproxima quando x tende a 0 vindo pela direita (valores positivos). Se h(x) toma um valor constante em todos os x>0 próximos de 0, esse será o limite pela direita.

Passo 5

Aplicando ao caso pela direita: para todo x>0 (próximo de zero ou não) vimos que h(x)=1. Logo, quando nos aproximamos de 0 por valores positivos, a função vale sempre 1. Formalizando com um pequeno argumento \varepsilon- \delta: dado qualquer \varepsilon>0, escolha qualquer \delta>0; para x com 0<x<\delta temos |h(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} h(x)=1.

Passo 6

Agora pela esquerda: \lim_{x\to 0^{-}} h(x) é o valor quando x tende a 0 por valores negativos. Para todo x<0 vimos que h(x)=-1. Assim, ao aproximar por valores negativos a função é sempre -1. Novamente, formalmente dado \varepsilon>0 escolha \delta>0; para -\delta<x<0 temos |h(x)-(-1)|=|-1+1|=0<\varepsilon. Portanto
\lim_{x\to 0^{-}} h(x)=-1.

Passo 7

Para a existência do limite total \lim_{x\to 0} h(x) é necessário e suficiente que os limites laterais existam e sejam iguais. Aqui encontramos:
\lim_{x\to 0^{+}} h(x)=1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{-}} h(x)=-1,
como esses dois valores são diferentes ( 1\neq -1), o limite bilateral não existe.

Resposta

\lim_{x\to 0^{+}} h(x)=1
\lim_{x\to 0^{-}} h(x)=-1
\lim_{x\to 0} h(x) não existe

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