Calcule os limites laterais solicitados:
Para
, calcule:
(a)
(b)
(c)
Para
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três limites:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes fornecidas: a função usa o valor absoluto
e divide por
, portanto a expressão está bem definida para
e potencialmente problemática em
. Aqui listamos apenas o que o enunciado dá e o que pede.
Passo 2
Entenda bem o valor absoluto: a definição peça‑por‑peça de
Isto significa que para
e para
negativo devolve o número positivo
. Essa definição vai permitir simplificar
dependendo do sinal de
.]
Passo 3
Vamos simplificar
em cada região (isso é um passo padrão: usar a definição por partes do módulo).
Para temos
, então
Para
Para
temos
, então
Também observe que em
a expressão é
, que é indefinida, então
não está definida.
Passo 4
Revisão rápida do que é limite lateral:
significa o valor para o qual
se aproxima quando
tende a
vindo pela direita (valores positivos). Se
toma um valor constante em todos os
próximos de
, esse será o limite pela direita.
Passo 5
Aplicando ao caso pela direita: para todo
(próximo de zero ou não) vimos que
. Logo, quando nos aproximamos de
por valores positivos, a função vale sempre
. Formalizando com um pequeno argumento
-
: dado qualquer
, escolha qualquer
; para
com
temos
. Portanto
Passo 6
Agora pela esquerda:
é o valor quando
tende a
por valores negativos. Para todo
vimos que
. Assim, ao aproximar por valores negativos a função é sempre
. Novamente, formalmente dado
escolha
; para
temos
. Portanto
Passo 7
Para a existência do limite total
é necessário e suficiente que os limites laterais existam e sejam iguais. Aqui encontramos:
como esses dois valores são diferentes (
), o limite bilateral não existe.