Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas que são relevantes:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável
tende a .
Não há outras perguntas: só precisamos encontrar esse limite.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios e
tende a infinito (positivo ou negativo), os termos de maior grau dominam o comportamento da função — os termos de menor grau tornam-se desprezíveis. A maneira prática de formalizar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Assim vemos claramente quais parcelas vão a zero quando
cresce em magnitude.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Primeiro escrevemos explicitamente a divisão:
Agora simplificamos as frações internas
. Assim obtemos
Passo 4
Analisamos o comportamento dos termos que dependem de
quando
:
-
porque (mesmo que seja negativo, o quadrado fica grande e positivo). -
porque , então a fração tende a zero (o sinal pode ser negativo quando é negativo, mas o valor absoluto vai a zero).
Portanto, fazendo o limite na forma simplificada,
Passo 5
Regra geral (aula rápida e prática): para uma função racional
com mesmo grau
no numerador e denominador, o limite quando
é simplesmente
, ou seja, a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui
e
, logo
. Exemplo rápido:
.