Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}+2 x}{-10 x^{3}+4}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^{3}+2x}{-10x^{3}+4}.
Informações dadas que são relevantes:
  • O numerador é o polinômio 5x^{3}+2x.
  • O denominador é o polinômio -10x^{3}+4.
  • A variável x tende a -\infty.
    Não há outras perguntas: só precisamos encontrar esse limite.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios e x tende a infinito (positivo ou negativo), os termos de maior grau dominam o comportamento da função — os termos de menor grau tornam-se desprezíveis. A maneira prática de formalizar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{3}). Assim vemos claramente quais parcelas vão a zero quando x cresce em magnitude.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{3}. Primeiro escrevemos explicitamente a divisão:
\frac{5x^{3}+2x}{-10x^{3}+4} = \frac{x^{3}\!\left(5+\dfrac{2x}{x^{3}}\right)}{x^{3}\!\left(-10+\dfrac{4}{x^{3}}\right)}.
Agora simplificamos as frações internas \dfrac{2x}{x^{3}}=\dfrac{2}{x^{2}}. Assim obtemos
\frac{5x^{3}+2x}{-10x^{3}+4} = \frac{5+\dfrac{2}{x^{2}}}{-10+\dfrac{4}{x^{3}}}.

Passo 4

Analisamos o comportamento dos termos que dependem de x quando x\to -\infty:
  • \dfrac{2}{x^{2}}\to 0 porque x^{2}\to +\infty (mesmo que x seja negativo, o quadrado fica grande e positivo).
  • \dfrac{4}{x^{3}}\to 0 porque |x^{3}|\to +\infty, então a fração tende a zero (o sinal pode ser negativo quando x é negativo, mas o valor absoluto vai a zero).
    Portanto, fazendo o limite na forma simplificada,
\lim_{x\to -\infty}\frac{5+\dfrac{2}{x^{2}}}{-10+\dfrac{4}{x^{3}}} =\frac{5+0}{-10+0}=\frac{5}{-10}=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Regra geral (aula rápida e prática): para uma função racional \dfrac{a_n x^n+\dots}{b_n x^n+\dots} com mesmo grau n no numerador e denominador, o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente \dfrac{a_n}{b_n}, ou seja, a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui a_3=5 e b_3=-10, logo \dfrac{5}{-10}=-\tfrac{1}{2}. Exemplo rápido: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{6x^2-4}=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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