Calcule os seguintes limites:
f) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-12 x+20}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20}.
O conteúdo aqui é limites de funções que geram forma indeterminada 0/0, e vamos usar fatoração de polinômios para simplificar.

Passo 2

Verificamos a substituição direta x=2:
\text{numerador} = 2^{2}-5\cdot2+6 = 4-10+6 = 0,
\text{denominador} = 2^{2}-12\cdot2+20 = 4-24+20 = 0.
Logo temos a forma indeterminada 0/0 e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatorando numerador e denominador:
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3),
x^{2}-12x+20 = (x-2)(x-10).

Passo 4

Para x\neq2 podemos cancelar (x-2), obtendo
\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+20} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-10)} = \frac{x-3}{x-10}.
Como \frac{x-3}{x-10} é contínua em x=2,
\lim_{x\to2}\frac{x-3}{x-10} = \frac{2-3}{2-10} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}

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