Calcule os seguintes limites:
a) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x e^{1 / x}
b) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+2 x^{2}\right)}{\sqrt{x}}
c) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{x}+3 x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede três limites envolvendo indeterminações e comparações de crescimento entre funções exponenciais, logaritmos e potências. Para resolver vamos usar:
– conhecimento sobre dominância assintótica (funções que crescem muito mais rápido do que outras);
– manipulação de exponenciais via logaritmo;
– equivalências como \ln(1+u)\sim u para u\to0.

Passo 2

Calculando \lim_{x\to0^{+}} x\,e^{1/x}. Note que
x\,e^{1/x} = \exp\bigl(\ln x + \tfrac1x\bigr).
Quando x\to0^{+}, temos \ln x\to -\infty mas \tfrac1x\to +\infty cresce muito mais rápido que \ln x. Logo
\ln x + \tfrac1x \;\longrightarrow\; +\infty,
e portanto
x\,e^{1/x} = \exp\bigl(\ln x + \tfrac1x\bigr)\;\longrightarrow\; +\infty.

Passo 3

Calculando \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(1+2x^{2}\bigr)}{\sqrt{x}}. Para x grande,
\ln\bigl(1+2x^{2}\bigr)\sim \ln(2x^{2}) = 2\ln x + \ln2,
logo o numerador cresce como 2\ln x enquanto o denominador cresce como x^{1/2}. Como \ln x = o(x^{1/2}), a razão tende a zero:
\frac{\ln\bigl(1+2x^{2}\bigr)}{\sqrt{x}}\;\longrightarrow\;0.

Passo 4

Calculando \lim_{x\to+\infty}\bigl(e^{x}+3x\bigr)^{1/x}. Defina
L = \lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}+3x\bigr)^{1/x}.
Tome logaritmo:
\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(e^{x}+3x\bigr)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(e^{x}\bigl(1+3x\,e^{-x}\bigr)\bigr)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{x + \ln\bigl(1+3x\,e^{-x}\bigr)}{x}.
Como 3x\,e^{-x}\to0, usamos \ln(1+u)\sim u para ver que \ln(1+3x\,e^{-x})=o(1). Então
\ln L = \lim_{x\to\infty}\Bigl(1 + \tfrac{o(1)}{x}\Bigr) = 1,
e daí L = e^{1} = e.

Resposta

a) +\infty
b) 0
c) e

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