Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
a) f(x)=\sqrt{|x+2|-|x|}
b) g(x)=\frac{x+2}{\sqrt{(x+1)(x-3)}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de duas funções que envolvem valores absolutos, raízes quadradas e frações. Vamos usar os seguintes conteúdos:
  1. Para \sqrt{\cdot}, o radicando deve ser não-negativo (e, se estiver no denominador, estritamente positivo).
  2. Para valores absolutos, resolver inequações do tipo \lvert A\rvert\ge\lvert B\rvert usando a propriedade \lvert A\rvert^2\ge\lvert B\rvert^2.
  3. Análise de sinais de produto de fatores lineares para resolver (x+1)(x-3)>0.

Passo 2

Para f(x)=\sqrt{\lvert x+2\rvert - \lvert x\rvert}, o que importa é que o radicando seja >=0:
\lvert x+2\rvert - \lvert x\rvert \;\ge\;0
Isto equivale a
\lvert x+2\rvert \;\ge\;\lvert x\rvert.

Passo 3

Usamos \lvert x+2\rvert^2\ge\lvert x\rvert^2, ou seja,
(x+2)^2 \;\ge\; x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; x^2 +4x+4 \;\ge\; x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; 4x+4\;\ge\;0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\;\ge\;-1.
Logo, o domínio de f é
[-1,\infty).

Passo 4

Para g(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{(x+1)(x-3)}}, o denominador exige
(x+1)(x-3)\;>\;0
porque não podemos ter raiz de número negativo nem denominador zero.

Passo 5

Resolvendo (x+1)(x-3)>0: as raízes são -1 e 3. O produto de dois fatores lineares é positivo quando x<-1 ou x>3. Portanto, o domínio de g é
(-\infty,-1)\,\cup\,(3,\infty).

Resposta

a) \displaystyle[-1,\infty)
b) \displaystyle(-\infty,-1)\cup(3,\infty)

Exercícios relacionados