Calcule os seguintes limites:
a) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}
b) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{x-2}
c) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{8 x^{4}+8 x+4}{2 x^{4}+100 x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede três limites distintos:
– (a) \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}, que é da forma 0/0, exigindo racionalização.
– (b) \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^{4}-16}{x-2}, também 0/0, onde podemos usar fatoração de diferença de quadrados.
– (c) \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{4}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3}, forma \infty/\infty, resolvida comparando graus de polinômios.

Passo 2

Para a parte (a), observe que
\sqrt{x}-\sqrt{2}\to0 \quad\text{e}\quad x-2\to0
quando x\to2. Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{2}:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\frac{x-2}{(x-2)\,(\sqrt{x}+\sqrt{2})} =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}.
Agora basta fazer x\to2:
\lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 3

Para a parte (b), note que
x^{4}-16 = (x^{2}-4)(x^{2}+4) = (x-2)(x+2)(x^{2}+4).
Logo
\frac{x^{4}-16}{x-2} =\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{x-2} =(x+2)(x^{2}+4).
Fazendo x\to2:
\lim_{x\to2}(x+2)(x^{2}+4) =(2+2)\bigl(2^{2}+4\bigr) =4\cdot8 =32.

Passo 4

Para a parte (c), com x\to+\infty temos forma \infty/\infty. Comparamos os termos de maior grau nos polinômios:
– No numerador, o termo dominante é 8x^{4}.
– No denominador, o termo dominante é 2x^{4}.
Assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{4}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3} =\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{4}\bigl(1+\tfrac{8x+4}{8x^{4}}\bigr)}{2x^{4}\bigl(1+\tfrac{100x^{2}}{2x^{4}}+\tfrac{3}{2x^{4}}\bigr)} =\frac{8}{2} =4.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}
(b) \displaystyle 32
(c) \displaystyle 4

Exercícios relacionados