(1,5) 6. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \sqrt[3]{\left(\frac{x^{3}+2 x^{2}-3 x+2}{-x^{2}-4 x-3}\right)^{2}}=

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -2}\sqrt[3]{\biggl(\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{-x^{2}-4x-3}\biggr)^{2}},
um limite de uma composição de funções (polinômios, quociente, quadrado e raiz cúbica). Para resolver vamos usar o fato de que polinômios, quocientes (quando o denominador não zera), potências e raízes ímpares são contínuos onde estão definidos, permitindo a troca do limite pela própria função.

Passo 2

Verificamos que o denominador
- x^{2}-4x-3
em x=-2 vale
-(-2)^{2}-4(-2)-3 = -4 +8 -3 = 1 \neq 0.
Logo o quociente \tfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{-x^{2}-4x-3}
é contínuo em x=-2, assim como elevar ao quadrado e aplicar raiz cúbica. Portanto
\lim_{x\to -2}\sqrt[3]{\biggl(\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{-x^{2}-4x-3}\biggr)^{2}} =\sqrt[3]{\Bigl(\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{-x^{2}-4x-3}\Bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos o limite interior por substituição direta em cada polinômio:
o numerador em x=-2 é
(-2)^{3}+2(-2)^{2}-3(-2)+2 = -8 +8 +6 +2 = 8,
e o denominador em x=-2 é 1 (já calculado). Logo
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{-x^{2}-4x-3} = \frac{8}{1} = 8.

Passo 4

Elevando ao quadrado e depois extraindo a raiz cúbica, obtemos
8^{2} = 64,
\sqrt[3]{64} = 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados