(2,0 pt) Calcule os seguintes limites:
(d) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{2}-3 x+1}{2 x^{2}+7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{5x^{2}-3x+1}{2x^{2}+7}.
Informações dadas:
  • É um quociente de polinômios em x.
  • O ponto de interesse é x\to +\infty (ou seja, x cresce sem limite pelo lado positivo).
    O que se pede: determinar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Idéia prática para esse tipo de limite: quando x\to\pm\infty os termos com menor potência de x tornam-se desprezíveis perante os termos de maior potência. Para formalizar isso, divide-se numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}).
Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos:
\frac{5x^{2}-3x+1}{2x^{2}+7} = \frac{\dfrac{5x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{2}}} = \frac{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{7}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora observe o comportamento das parcelas que têm x no denominador quando x\to +\infty:
  • \dfrac{3}{x}\to 0, porque o denominador cresce sem limite.
  • \dfrac{1}{x^{2}}\to 0.
  • \dfrac{7}{x^{2}}\to 0.
Esses limites são básicos: para qualquer constante a tem-se \dfrac{a}{x^{p}}\to 0 quando p>0 e x\to\pm\infty.

Passo 4

Aplicando esses limites na expressão do Passo 3, obtemos
\lim_{x\to +\infty}\frac{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{7}{x^{2}}} = \frac{5-0+0}{2+0}=\frac{5}{2}.

Passo 5

Comentário prático para prova (dica amigável): para quocientes de polinômios, se o grau do numerador e do denominador for o mesmo, o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 5 e 2), portanto \dfrac{5}{2}. Isso evita fazer contas longas na prova.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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