(1,0 pt) Determine os limites laterais e conclua se o limite existe em x=1 :
f(x)= \begin{cases}2 x+1, & x<1 \\\ x^{2}, & x \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}2x+1, & x<1 \\\ x^{2}, & x\geq 1\end{cases}
e pede:
  • calcular os limites laterais em x=1, isto é \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x);
  • concluir se o limite \lim_{x\to1}f(x) existe.
As informações relevantes são: para x<1 a função vale 2x+1; para x\geq1 vale x^2. Não há figura nem outros dados.

Passo 2

Conceito rápido e útil (sem rodeios): um limite lateral usa apenas a expressão da função válida no lado considerado. Ou seja:
  • \lim_{x\to1^-}f(x) usa a expressão válida para x<1.
  • \lim_{x\to1^+}f(x) usa a expressão válida para x>1 (ou x\ge1 ao considerar valores próximos por cima).
Além disso, se cada ramo for uma função contínua (como polinômios), podemos calcular o limite lateral trocando x por 1 diretamente na expressão do ramo. E o limite em x=1 existe se, e somente se, os dois limites laterais são iguais.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x\to1^- usamos o ramo 2x+1. Como 2x+1 é polinomial (continua), podemos substituir x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(2x+1)=2\cdot 1+1=3.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x\to1^+ usamos o ramo x^{2}. Como x^{2} é polinomial (continua), substituímos x=1:
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^{2}=1^{2}=1.

Passo 5

Comparação e conclusão. Encontramos
\lim_{x\to1^-}f(x)=3 e \lim_{x\to1^+}f(x)=1. Como os limites laterais são diferentes ( 3\neq1), o limite \lim_{x\to1}f(x) não existe.
Observação extra (útil na prova): o valor da função em x=1 é f(1)=1^2=1. Mesmo assim, isso não faz o limite existir — há uma descontinuidade do tipo salto em x=1.

Resposta

\lim_{x\to1^-}f(x)=3
\lim_{x\to1^+}f(x)=1
\lim_{x\to1}f(x) não existe.

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