Descreva o efeito na curva característica torque-velocidade de um motor de indução produzido por reduzir à metade a tensão elétrica aplicada e a frequência. Esboce as curvas de torque-velocidade resultantes em relação à tensão elétrica nominal e à frequência nominal. Não leve em consideração os efeitos da resistência elétrica do estator e da reatância de dispersão.

Passo 1

O enunciado pede que se descreva o efeito, sobre a curva característica torque versus velocidade, de um motor de indução quando a tensão aplicada V e a frequência f são reduzidas à metade (isto é, V\to \tfrac{1}{2}V e f\to \tfrac{1}{2}f). Foi dado também que não se deve considerar os efeitos da resistência do estator nem da reatância de dispersão.
Perguntas implícitas que vamos responder:
  • Como mudam a forma e a posição da curva T versus velocidade mecânica n (ou velocidade angular \omega_m) quando V e f são reduzidos à metade?
  • Como mudam o torque de partida, o torque de máxima (breakdown) e a velocidade síncrona?
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A operação é feita com V e f reduzidos simultaneamente à metade.
  • Devemos desprezar resistência do estator e reatância de dispersão (logo simplificações no circuito equivalente).

Passo 2

Conceito importante: velocidade síncrona.
A velocidade síncrona (em rpm) de um motor de indução depende só da frequência e do número de polos p:
N_s=\frac{120\,f}{p}.
Explicando: N_s é a velocidade do campo girante. Se a frequência f for reduzida à metade, então N_s também é reduzida à metade:
f\to\tfrac{1}{2}f \quad\Rightarrow\quad N_s\to\tfrac{1}{2}N_s.

Passo 3

Conceito de escorregamento (slip).
O escorregamento s é a diferença relativa entre a velocidade síncrona e a velocidade mecânica do rotor:
s=\frac{N_s-N}{N_s},
onde N é a velocidade mecânica (em rpm). Em termos angulares,
\omega_m=(1-s)\,\omega_s,
com \omega_s proporcional a f. Observação: para um mesmo valor de s, a velocidade mecânica \omega_m escala com \omega_s (logo com f).

Passo 4

Relação fluxo magnético com V e f (controle V/f).
No motor de indução o fluxo magnético no entreferro \Phi é aproximadamente proporcional à razão V/f:
\Phi\propto\frac{V}{f}.
Explicando: a tensão aplicada produz uma força magnetomotriz cuja queda é equilibrada pela reatância de magnetização, que é proporcional à frequência; mantendo V/f constante mantém-se o fluxo magnético aproximadamente constante. Portanto, se V e f forem reduzidos na mesma proporção,
V\to\tfrac{1}{2}V,\quad f\to\tfrac{1}{2}f \quad\Rightarrow\quad \frac{V}{f}\\ \text{invariável}\\ \Rightarrow\\ \Phi\\ \text{aprox. constante}.á

Passo 5

Fórmula qualitativa do torque em função do escorregamento (sem complicar demais).
Uma forma usual, que serve para entender dependências, é
T(s)\propto \Phi^{2}\cdot\frac{sR_2'}{R_2'^2+(sX_2')^2},
onde:
  • T(s) é o torque eletromagnético desenvolvido para um dado escorregamento s;
  • \Phi é o fluxo no entreferro;
  • R_2' é a resistência do rotor referida ao estator;
  • X_2' é a reatância de dispersão do rotor referida ao estator (proporcional a f).
    O enunciado pede para negligenciar a reatância de dispersão e a resistência do estator; portanto, se desprezarmos X_2' (reatância de dispersão) na expressão, a dependência simplifica para
T(s)\propto \Phi^{2}\cdot\frac{sR_2'}{R_2'^2} \propto \Phi^{2}\cdot s,
ou seja, com reatâncias desprezadas (modelo extremamente simplificado) o torque é diretamente proporcional a \Phi^{2} e ao escorregamento s. O ponto chave: para um dado s, T escala como \Phi^{2}.
Observação prática: mesmo mantendo V/f constante, reatâncias reais mudam com f e afetam levemente a forma da curva; mas o enunciado pede explicitamente que esses efeitos sejam desprezados.

Passo 6

Consequência direta de manter V/f constante no modelo: torque para mesmo escorregamento não muda.
Como \Phi permanece (aprox.) constante quando V e f são reduzidos proporcionalmente, e a expressão de T(s) tem fator \Phi^{2}, concluímos:
  • Para um dado escorregamento s, o valor de T(s) permanece praticamente igual quando V e f são reduzidos à metade.
    Em outras palavras, a curva T em função de s não se altera (mesma forma e mesmos valores de torque para cada s).

Passo 7

Transformando T(s) em T versus velocidade mecânica N (ou \omega_m).
A relação entre s e N envolve N_s:
N=(1-s)N_s.
Se N_s é reduzido à metade (porque f foi reduzido à metade), então para o mesmo escorregamento s a velocidade mecânica N também é reduzida à metade. Consequência:
  • A curva T versus s permanece inalterada.
  • A curva T versus N é comprimida horizontalmente por um fator 1/2: todos os pontos de mesma amplitude de torque ocorrem agora na metade da velocidade mecânica que tinham na condição nominal.
    Particularidades:
  • Torque de partida ( s=1) permanece (aprox.) o mesmo.
  • Torque de máxima (breakdown) em termos de valor de torque permanece (aprox.) o mesmo, mas sua ocorrência em velocidade mecânica fica pela metade.
  • A velocidade síncrona N_s e, portanto, o ponto onde T=0 (na aproximação ideal), ficam pela metade.

Passo 8

Interpretação física simples e consequência para potência mecânica.
  • Como o torque para cada s é aproximadamente igual, mas as velocidades mecânicas correspondentes são menores (metade), a potência mecânica disponível P=T\omega_m diminuirá aproximadamente pela metade para o mesmo torque, porque \omega_m (ou N) foi reduzida. Logo, manter V/f constante preserva o torque mas reduz a faixa de velocidades e, consequentemente, a potência máxima extraível a uma mesma faixa de torque.

Passo 9

Esboço das curvas (descrição e pequeno desenho ASCII).
Descrição: no eixo vertical está o torque T, no eixo horizontal a velocidade mecânica N. A curva nominal (com V,f nominais) vai desde N=0 com torque de partida até N=N_s onde o torque passa por zero. Quando V e f são reduzidos à metade mantendo V/f constante, a curva fica com a mesma forma e mesma altura (mesmo torque para cada escorregamento), mas toda ela aparece comprimida horizontalmente até metade da velocidade. Ou seja, o pico de torque e o torque de partida permanecem, porém ocorrem a metade da velocidade.
Esboço ASCII (rótulos: curva A = nominal, curva B = V/2,f/2):
Vertical: T
Horizontal: N
Nominal:
N=0 … N_s/2 … N_s
|\ (curva A)
| \ /
| \ /
T | \ /
| _____/ (chega a zero em N_s)
Reduzido ( V/2,f/2):
N=0 … N_s/4 … N_s/2
|\ (curva B, mesma altura, comprimida)
| \ /
| \ /
T | \ /
| _____/ (chega a zero em N_s/2)
(ou seja, a curva B é a curva A “espremida” em N por fator 1/2.)

Passo 10

Resumo didático e incentivo final.
  • Resumindo em uma frase prática: reduzir V e f à metade mantendo V/f constante preserva aproximadamente o torque para cada escorregamento, enquanto reduz pela metade a velocidade síncrona; portanto a curva torque-versus-velocidade é deslocada/compactada horizontalmente por um fator 1/2 mantendo suas alturas.
  • Observação prática importante: isto vale dentro da simplificação pedida (desprezar resistências do estator e reatâncias de dispersão). Em motores reais pequenas diferenças aparecem porque reatâncias dependem de f e perdas também variam, mas o raciocínio V/f e o efeito de compressão da curva por mudança de N_s é a ideia central que os exames costumam pedir — então está tudo certo, respira, vai dar boa na prova!

Resposta

Reduzir V e f à metade mantendo V/f constante deixa o torque para cada escorregamento s aproximadamente inalterado (porque \Phi\propto V/f), mas reduz a velocidade síncrona N_s à metade; portanto a curva T versus velocidade mecânica N é comprimida horizontalmente por um fator 1/2 (mesmos valores de torque, ocorrendo a metade da velocidade).

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