(2,0 pt) Calcule os seguintes limites:
(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da função
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x+1}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A expressão é \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x+1}.
  • Queremos \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x+1}.
  • Não há constantes suspeitas ou pontos de descontinuidade em x=0 no denominador, pois x+1 em x=0 vale 1.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem formalismos complexos): usar leis básicas de limites (produto, quociente e composição) e a propriedade fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Vou reescrever a função de forma a expor esse quociente padrão e outro fator simples, avaliar os limites de cada fator e multiplicar os resultados.

Passo 3

Pequena aula sobre a propriedade \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Esse limite é um resultado clássico. Uma forma simples de ver por que ele vale 1 usa o teorema do aperto (squeeze theorem). Para t positivo pequeno, vale a desigualdade geométrica
\cos t \le \frac{\operatorname{sen} t}{t} \le 1.
Para t tendendo a 0, temos \cos t \to 1 e o lado direito é constante 1. Pelo teorema do aperto, \dfrac{\operatorname{sen} t}{t} também tende a 1. Para t negativo usa-se simetria (a função \operatorname{sen} é ímpar) e o mesmo resultado vale. Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.

Passo 4

Reescrevo a expressão de forma útil:
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x+1} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\cdot\frac{2x}{x+1}.
Isto é apenas álgebra: multipliquei e dividi por 2x (válido enquanto consideramos limites; para x=0 a expressão intermediária é entendida por limite). Agora aplico leis de limite: o limite do produto é o produto dos limites, desde que os limites parciais existam.

Passo 5

Avalio os limites dos dois fatores separadamente.
  1. Para o primeiro fator,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}
fazendo a substituição t=2x (quando x\to 0, t\to 0), usa-se o resultado do Passo 3 para obter
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=1.
  1. Para o segundo fator,
\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x+1}.
Aqui podemos usar regras básicas: o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1, logo
\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x+1}=\frac{0}{1}=0,
porque o limite de um quociente é o quociente dos limites quando o limite do denominador é diferente de zero.

Passo 6

Combino os resultados usando a lei do produto de limites:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x+1} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x+1}\right) = 1\cdot 0 = 0.

Resposta

\;0\;

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