(2,0 pt) Calcule os seguintes limites:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A expressão é
. - Queremos
- Não há constantes suspeitas ou pontos de descontinuidade em
no denominador, pois em vale .
Passo 2
Estratégia escolhida (sem formalismos complexos): usar leis básicas de limites (produto, quociente e composição) e a propriedade fundamental
Vou reescrever a função de forma a expor esse quociente padrão e outro fator simples, avaliar os limites de cada fator e multiplicar os resultados.
Passo 3
Pequena aula sobre a propriedade
.
Esse limite é um resultado clássico. Uma forma simples de ver por que ele vale
usa o teorema do aperto (squeeze theorem). Para
positivo pequeno, vale a desigualdade geométrica
Para
tendendo a
, temos
e o lado direito é constante
. Pelo teorema do aperto,
também tende a
. Para
negativo usa-se simetria (a função
é ímpar) e o mesmo resultado vale. Portanto
Passo 4
Reescrevo a expressão de forma útil:
Isto é apenas álgebra: multipliquei e dividi por
(válido enquanto consideramos limites; para
a expressão intermediária é entendida por limite). Agora aplico leis de limite: o limite do produto é o produto dos limites, desde que os limites parciais existam.
Passo 5
Avalio os limites dos dois fatores separadamente.
- Para o primeiro fator,
fazendo a substituição
(quando
,
), usa-se o resultado do Passo 3 para obter
- Para o segundo fator,
Aqui podemos usar regras básicas: o numerador tende a
e o denominador tende a
, logo
porque o limite de um quociente é o quociente dos limites quando o limite do denominador é diferente de zero.
Passo 6
Combino os resultados usando a lei do produto de limites: