Encontre sobre a curva
(Hipérbole), o(s) ponto(s) mais próximo do ponto
.
Passo 1
O que o problema pede:
- Encontrar os pontos da hipérbole
que estão mais próximos do ponto .
Dados fornecidos:
- Curva:
- Ponto fixo:
Observação importante (para organizar o que faremos):
- A distância entre um ponto
e é . Para facilitar os cálculos, é comum minimizar o quadrado da distância, que é , sujeito à restrição
Passo 2
Escolha do método e porquê (explicação didática):
- Vamos usar multiplicadores de Lagrange. Esse método resolve problemas do tipo "minimizar uma função
com a condição ". - Intuição do método: no ponto de mínimo (ou máximo) sujeito à restrição, o gradiente de
é paralelo ao gradiente de . Isso dá o sistema
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número que vamos determinar).
- Trabalhar com
= quadrado da distância evita raízes e não muda o local do mínimo (minimizar ou é equivalente).
Passo 3
Formular
e
e calcular os gradientes:
- Função a minimizar:
- Restrição:
- Gradientes:
- Igualando conforme Lagrange:
Isto dá o sistema de equações:
e a restrição
Passo 4
Resolver o sistema (passo a passo, sem pular etapas):
- Da equação (1):
. Podemos escrever
Então ou
ou
.
-
Caso
: pela restrição (3) teríamos , o que não tem solução real. Logo e este caso é descartado. -
Então necessariamente
. -
Substituindo
na equação (2):
Dividindo por 2:
Somando
aos dois lados:
- Agora usar a restrição (3) para achar
:
Com
temos
logo
Portanto
Passo 5
Interpretar, verificar e confirmar que são mínimos:
- Encontramos dois pontos candidatos na hipérbole:
- Distância ao ponto
: calcular o quadrado da distância para confirmação
Com
e
temos
e
. Assim
Logo
.
- Por que são mínimos e não máximos/sela? A hipérbole é não limitada e, ao ir para |x| grande, tanto |x| quanto |y| crescem e a distância para
tende a infinito, então deve haver um mínimo global e nenhum máximo global. Como o método de Lagrange encontrou pontos críticos reais e simétricos, estes são os pontos de mínimo global na hipérbole.
Passo 6
Comentário geométrico curto e incentivo:
- Os pontos mais próximos de
na hipérbole estão simetricamente à esquerda e à direita, com mesma ordenada . Beleza — é comum hipérboles darem soluções simétricas assim. Você já fez a parte mais difícil: montar o problema como otimização com restrição e resolver o sistema de Lagrange. Ótimo trabalho por seguir até aqui!