(2,0) Encontre sobre a curva x^{2}-y^{2}=1 (Hipérbole), o(s) ponto(s) mais próximo do ponto A(0,-3).

Passo 1

O que o problema pede:
  • Encontrar os pontos da hipérbole \,x^{2}-y^{2}=1\, que estão mais próximos do ponto A(0,-3).
Dados fornecidos:
  • Curva: \;x^{2}-y^{2}=1.
  • Ponto fixo: A=(0,-3).
Observação importante (para organizar o que faremos):
  • A distância entre um ponto (x,y) e A é \sqrt{(x-0)^{2}+(y+3)^{2}}. Para facilitar os cálculos, é comum minimizar o quadrado da distância, que é \;f(x,y)=x^{2}+(y+3)^{2}\;, sujeito à restrição \;g(x,y)=x^{2}-y^{2}-1=0\;.

Passo 2

Escolha do método e porquê (explicação didática):
  • Vamos usar multiplicadores de Lagrange. Esse método resolve problemas do tipo "minimizar uma função f(x,y) com a condição g(x,y)=0".
  • Intuição do método: no ponto de mínimo (ou máximo) sujeito à restrição, o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso dá o sistema
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número que vamos determinar).
  • Trabalhar com f = quadrado da distância evita raízes e não muda o local do mínimo (minimizar d ou d^{2} é equivalente).

Passo 3

Formular f e g e calcular os gradientes:
  • Função a minimizar:
f(x,y)=x^{2}+(y+3)^{2}.
  • Restrição:
g(x,y)=x^{2}-y^{2}-1=0.
  • Gradientes:
\nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y)=(2x,\;2(y+3)),
\nabla g=(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y)=(2x,\;-2y).
  • Igualando conforme Lagrange:
(2x,\;2(y+3))=\lambda\,(2x,\;-2y).
Isto dá o sistema de equações:
2x = \lambda\cdot 2x \quad\text{(1)}
2(y+3)=\lambda\cdot(-2y) \quad\text{(2)}
e a restrição
x^{2}-y^{2}=1 \quad\text{(3)}.

Passo 4

Resolver o sistema (passo a passo, sem pular etapas):
  • Da equação (1): 2x = 2\lambda x. Podemos escrever
2x(1-\lambda)=0.
Então ou x=0 ou \lambda=1.
  • Caso x=0: pela restrição (3) teríamos 0^{2}-y^{2}=1\Rightarrow -y^{2}=1\Rightarrow y^{2}=-1, o que não tem solução real. Logo x\neq 0 e este caso é descartado.
  • Então necessariamente \lambda=1.
  • Substituindo \lambda=1 na equação (2):
2(y+3)=1\cdot(-2y)\quad\Rightarrow\quad 2(y+3)=-2y.
Dividindo por 2:
y+3=-y.
Somando y aos dois lados:
2y=-3 \quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{3}{2}.
  • Agora usar a restrição (3) para achar x:
x^{2}-y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1+y^{2}.
Com y=-\dfrac{3}{2} temos
y^{2}=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4},
logo
x^{2}=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4}.
Portanto
x=\pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}.

Passo 5

Interpretar, verificar e confirmar que são mínimos:
  • Encontramos dois pontos candidatos na hipérbole:
\left(\dfrac{\sqrt{13}}{2},-\dfrac{3}{2}\right)\quad\text{e}\quad\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{2},-\dfrac{3}{2}\right).
  • Distância ao ponto A: calcular o quadrado da distância para confirmação
d^{2}=x^{2}+(y+3)^{2}.
Com x^{2}=\dfrac{13}{4} e y=-\dfrac{3}{2} temos (y+3)=\dfrac{3}{2} e (y+3)^{2}=\dfrac{9}{4}. Assim
d^{2}=\dfrac{13}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{22}{4}=\dfrac{11}{2}.
Logo d=\sqrt{\tfrac{11}{2}}.
  • Por que são mínimos e não máximos/sela? A hipérbole é não limitada e, ao ir para |x| grande, tanto |x| quanto |y| crescem e a distância para A tende a infinito, então deve haver um mínimo global e nenhum máximo global. Como o método de Lagrange encontrou pontos críticos reais e simétricos, estes são os pontos de mínimo global na hipérbole.

Passo 6

Comentário geométrico curto e incentivo:
  • Os pontos mais próximos de A(0,-3) na hipérbole estão simetricamente à esquerda e à direita, com mesma ordenada y=-\tfrac{3}{2}. Beleza — é comum hipérboles darem soluções simétricas assim. Você já fez a parte mais difícil: montar o problema como otimização com restrição e resolver o sistema de Lagrange. Ótimo trabalho por seguir até aqui!

Resposta

\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{13}}{2},-\dfrac{3}{2}\right)
\displaystyle \left(-\dfrac{\sqrt{13}}{2},-\dfrac{3}{2}\right)

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