Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{3}+4 x^{2}-1\right).
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{t+1}{t^{2}+1}
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^{2}-2 t+3}{2 t^{2}+5 t-3}
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{5}-x^{2}+7}{2-x^{2}}
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+3 x+1}{x}
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t^{2}-1}{t-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis limites no infinito de polinômios e de funções racionais, mais precisamente os limites \lim_{x \to +\infty}(3x^{3}+4x^{2}-1), \lim_{t \to +\infty}\frac{t+1}{t^{2}+1}, \lim_{t \to +\infty}\frac{t^{2}-2t+3}{2t^{2}+5t-3}, \lim_{x \to -\infty}\frac{3x^{5}-x^{2}+7}{2 - x^{2}}, \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{x} e \lim_{t \to +\infty}\frac{t^{2}-1}{t-4}.
O conteúdo é limites no infinito, usando que em polinômios domina o termo de maior grau e em racionais comparamos graus do numerador e do denominador.

Passo 2

Para um polinômio qualquer, o termo de maior grau domina o comportamento em \pm\infty. No caso
3x^{3}+4x^{2}-1,
o termo de maior grau é 3x^{3} e, quando x\to+\infty, 3x^{3}\to+\infty. Logo
\lim_{x \to +\infty}(3x^{3}+4x^{2}-1)=+\infty.

Passo 3

Numa função racional \frac{P(x)}{Q(x)}, se \deg P<\deg Q, então o denominador cresce mais rápido e
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0.
Aqui \deg(t+1)=1 e \deg(t^{2}+1)=2, logo
\lim_{t \to +\infty}\frac{t+1}{t^{2}+1}=0.

Passo 4

Se \deg P=\deg Q, então
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}.íí
No exemplo \frac{t^{2}-2t+3}{2t^{2}+5t-3} ambos têm grau 2, com coeficientes líderes 1 e 2, respectivamente. Logo
\lim_{t \to +\infty}\frac{t^{2}-2t+3}{2t^{2}+5t-3}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Se \deg P>\deg Q, o numerador domina e o limite é infinito, cujo sinal depende do sinal do quociente entre os termos líderes e do sinal de x (caso o grau excedente seja ímpar).
  1. Para \frac{3x^{5}-x^{2}+7}{2 - x^{2}}, \deg P=5, \deg Q=2. O líder do numerador é 3x^{5} e, para x\to -\infty, 3x^{5}\to -\infty; o líder do denominador é -x^{2}, que para x\to -\infty também vai a -\infty. Dividindo-se dois termos que vão a -\infty, obtém-se +\infty.
  2. Para \frac{x^{2}+3x+1}{x}, \deg P=2, \deg Q=1. Divide-se e surge x+3+\tfrac1x, que, quando x\to+\infty, vai a +\infty.
  3. Para \frac{t^{2}-1}{t-4}, \deg P=2, \deg Q=1. Fazendo divisão de polinômios obtém-se t+4+\tfrac{15}{t-4}, que para t\to+\infty cresce sem limite, dando +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^{3}+4x^{2}-1)=+\infty \displaystyle \lim_{t \to +\infty}\frac{t+1}{t^{2}+1}=0 \displaystyle \lim_{t \to +\infty}\frac{t^{2}-2t+3}{2t^{2}+5t-3}=\tfrac12 \displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{3x^{5}-x^{2}+7}{2 - x^{2}}=+\infty \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{x}=+\infty \displaystyle \lim_{t \to +\infty}\frac{t^{2}-1}{t-4}=+\infty

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