Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular seis limites no infinito de polinômios e de funções racionais, mais precisamente os limites
,
,
,
,
e
.
O conteúdo é limites no infinito, usando que em polinômios domina o termo de maior grau e em racionais comparamos graus do numerador e do denominador.
O conteúdo é limites no infinito, usando que em polinômios domina o termo de maior grau e em racionais comparamos graus do numerador e do denominador.
Passo 2
Para um polinômio qualquer, o termo de maior grau domina o comportamento em
. No caso
o termo de maior grau é
e, quando
,
. Logo
Passo 3
Numa função racional
, se
, então o denominador cresce mais rápido e
Aqui
e
, logo
Passo 4
Se
, então
No exemplo
ambos têm grau 2, com coeficientes líderes 1 e 2, respectivamente. Logo
Passo 5
Se
, o numerador domina e o limite é infinito, cujo sinal depende do sinal do quociente entre os termos líderes e do sinal de
(caso o grau excedente seja ímpar).
- Para
, , . O líder do numerador é e, para , ; o líder do denominador é , que para também vai a . Dividindo-se dois termos que vão a , obtém-se . - Para
, , . Divide-se e surge , que, quando , vai a . - Para
, , . Fazendo divisão de polinômios obtém-se , que para cresce sem limite, dando .