(2,0 poitus). Use integração para determirıar a área da eiipse de equação
\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{6}=1

Passo 1

O enunciado pede a área da elipse
\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{6}=1
usando integração. O conteúdo é cálculo de área por integração de uma curva definida implicitamente. Para isso vamos: isolar y, obter a integral que dá a área em função de x, e usar substituição trigonométrica ou mudança de variável para calcular a integral.

Passo 2

Da equação da elipse temos
\frac{y^{2}}{6}=1-\frac{x^{2}}{5}
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y=\pm\sqrt{6\Bigl(1-\frac{x^{2}}{5}\Bigr)}.
A área total é duas vezes a área acima do eixo x, ou seja
\text{Área}=2\int_{-\,\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\sqrt{6\Bigl(1-\frac{x^{2}}{5}\Bigr)}\,dx.Á

Passo 3

Factorizando constantes dentro da raiz:
\sqrt{6\Bigl(1-\frac{x^{2}}{5}\Bigr)} =\sqrt{6}\,\sqrt{1-\frac{x^{2}}{5}},
fica
\text{Área}=2\sqrt{6}\int_{-\,\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{5}}\,dx.Á

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
x=\sqrt{5}\,u,\quad dx=\sqrt{5}\,du,
com u variando de -1 a 1. Substituindo na integral:
\text{Área} =2\sqrt{6}\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^{2}}\;\bigl(\sqrt{5}\,du\bigr) =2\sqrt{30}\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^{2}}\,du.Á

Passo 5

Reconhecemos que
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^{2}}\,du=\frac{\pi}{2}
é a área de meio círculo de raio 1. Portanto
\text{Área}=2\sqrt{30}\cdot\frac{\pi}{2}=\pi\sqrt{30}.Á

Resposta

\pi\sqrt{30}

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