Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende para +\infty da expressão
\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A variável x vai para +\infty (isto é, x cresce sem limite, tomando valores positivos cada vez maiores).
  • A expressão é a diferença entre duas raízes quadradas: \sqrt{x^{2}+2} e \sqrt{x^{2}+1}.

Passo 2

Observação importante sobre a forma da expressão: quando x\to+\infty temos \sqrt{x^{2}+2}\to+\infty e \sqrt{x^{2}+1}\to+\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty-\infty. Isso significa que não podemos concluir o limite só olhando que cada termo diverge — precisamos manipular a expressão para uma forma que dê para avaliar o limite.

Passo 3

Técnica que vamos usar: racionalizar a diferença usando o conjugado. O conjugado de \sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1} é \sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}. Multiplicando a expressão por 1 na forma do conjugado dividido por ele mesmo, obtemos uma forma mais simples:
\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{\left(\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}:
\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)^{2}-\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2} = (x^{2}+2)-(x^{2}+1)=1.
Logo a expressão fica
\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 5

Agora precisamos calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}}.
Para entender o comportamento do denominador quando x cresce, fatoramos x dentro das raízes (lembrando que x>0 quando x\to+\infty, então podemos escrever \sqrt{x^{2}}=x):
\sqrt{x^{2}+2}=x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}},\qquad \sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Portanto o denominador é
\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1} = x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\right).

Passo 6

Substituindo na expressão do Passo 5, obtemos
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{1}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\right)}.
Quando x\to+\infty temos \frac{2}{x^{2}}\to 0 e \frac{1}{x^{2}}\to 0. A função \sqrt{1+t} é contínua em t=0, então
\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}\to 1\quad\text{e}\quad \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\to 1.
Logo o fator entre parênteses tende para 1+1=2. Assim o denominador inteiro se comporta como x\cdot 2 = 2x quando x é grande, e vai para +\infty. Como o numerador é 1, a fração tende a 0.

Passo 7

Se quiser uma justificativa por desigualdade (controle mais rígido), note que para x>0 temos
2\sqrt{x^{2}+1}\le \sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}\le 2\sqrt{x^{2}+2},
portanto
\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+2}}\le \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+1}}\le \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}.
Ambos os limites nas extremidades vão para 0 quando x\to+\infty (pois \sqrt{x^{2}+c}\sim x e 1/x\to 0). Pelo princípio do confronto (squeeze), a expressão central também tende a 0. Isso confirma o resultado anterior e dá uma estimativa da ordem de grandeza: a diferença é da ordem de 1/(2x) para x grande.

Passo 8

Conclusão final: o limite existe e vale 0. Intuitivamente, para x muito grande as duas raízes são quase iguais (ambas próximas de x), então a diferença entre elas é muito pequena e tende a zero.

Resposta

0

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