Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende para
da expressão
Informações dadas:
- A variável
vai para (isto é, cresce sem limite, tomando valores positivos cada vez maiores). - A expressão é a diferença entre duas raízes quadradas:
e .
Passo 2
Observação importante sobre a forma da expressão: quando
temos
e
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o limite só olhando que cada termo diverge — precisamos manipular a expressão para uma forma que dê para avaliar o limite.
Passo 3
Técnica que vamos usar: racionalizar a diferença usando o conjugado. O conjugado de
é
. Multiplicando a expressão por
na forma do conjugado dividido por ele mesmo, obtemos uma forma mais simples:
Passo 4
Agora simplificamos o numerador usando a identidade
:
Logo a expressão fica
Passo 5
Agora precisamos calcular
Para entender o comportamento do denominador quando
cresce, fatoramos
dentro das raízes (lembrando que
quando
, então podemos escrever
):
Portanto o denominador é
Passo 6
Substituindo na expressão do Passo 5, obtemos
Quando
temos
e
. A função
é contínua em
, então
Logo o fator entre parênteses tende para
. Assim o denominador inteiro se comporta como
quando
é grande, e vai para
. Como o numerador é
, a fração tende a
.
Passo 7
Se quiser uma justificativa por desigualdade (controle mais rígido), note que para
temos
portanto
Ambos os limites nas extremidades vão para
quando
(pois
e
). Pelo princípio do confronto (squeeze), a expressão central também tende a
. Isso confirma o resultado anterior e dá uma estimativa da ordem de grandeza: a diferença é da ordem de
para
grande.
Passo 8
Conclusão final: o limite existe e vale
. Intuitivamente, para
muito grande as duas raízes são quase iguais (ambas próximas de
), então a diferença entre elas é muito pequena e tende a zero.