Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
tende para
; as expressões envolvem raízes cúbicas de
e
. Não há outras restrições; a função está bem definida para
grandes. O que queremos é o valor numérico desse limite quando
cresce sem limite.
Passo 2
Uma ferramenta muito útil para diferenças de raízes cúbicas é a fatoração da diferença de cubos. Para quaisquer números
e
vale a identidade
que implica
Explicando rápido: a identidade vem de multiplicar
por
e verificar que o produto é
. Aqui
e
serão as duas raízes cúbicas do nosso limite.
Passo 3
Escolho
Aplicando a identidade do passo anterior tenho
Ou seja, a diferença é igual a
dividido por
. Agora precisamos estudar o comportamento de
quando
.
Passo 4
Escrevo cada raiz em função de
para evidenciar a ordem de grandeza:
Então
Expliquei: cada termo tem fator
porque
e
têm fator
, e ao elevar ao quadrado ou ao multiplicar obtemos
.
Passo 5
Agora uso que, quando
, temos
. A função
é contínua, então
Portanto o colchete da expressão do passo anterior tende a
Assim, para
grande
onde o símbolo
significa “tem o mesmo comportamento principal”.
Passo 6
Voltando à expressão original,
Como
quando
, segue que a fração
tende a
. Portanto a diferença das raízes cúbicas também tende a
. (Se quiser, temos também o limite refinado
o que confirma o equivalente acima.)
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