Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}\big).
Informações dadas: x tende para +\infty; as expressões envolvem raízes cúbicas de x+1 e x-1. Não há outras restrições; a função está bem definida para x grandes. O que queremos é o valor numérico desse limite quando x cresce sem limite.

Passo 2

Uma ferramenta muito útil para diferenças de raízes cúbicas é a fatoração da diferença de cubos. Para quaisquer números a e b vale a identidade
a^3-b^3=(a-b)\big(a^2+ab+b^2\big),
que implica
a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}.
Explicando rápido: a identidade vem de multiplicar (a-b) por (a^2+ab+b^2) e verificar que o produto é a^3-b^3. Aqui a e b serão as duas raízes cúbicas do nosso limite.

Passo 3

Escolho
a=\sqrt[3]{x+1},\qquad b=\sqrt[3]{x-1}.
Aplicando a identidade do passo anterior tenho
\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1} =\frac{(x+1)-(x-1)}{a^2+ab+b^2} =\frac{2}{a^2+ab+b^2}.
Ou seja, a diferença é igual a 2 dividido por a^2+ab+b^2. Agora precisamos estudar o comportamento de a^2+ab+b^2 quando x\to+\infty.

Passo 4

Escrevo cada raiz em função de x^{1/3} para evidenciar a ordem de grandeza:
a=x^{1/3}\big(1+\tfrac{1}{x}\big)^{1/3},\qquad b=x^{1/3}\big(1-\tfrac{1}{x}\big)^{1/3}.
Então
a^2+ab+b^2 = x^{2/3}\Big[\big(1+\tfrac{1}{x}\big)^{2/3} +\big(1+\tfrac{1}{x}\big)^{1/3}\big(1-\tfrac{1}{x}\big)^{1/3} +\big(1-\tfrac{1}{x}\big)^{2/3}\Big].
Expliquei: cada termo tem fator x^{2/3} porque a e b têm fator x^{1/3}, e ao elevar ao quadrado ou ao multiplicar obtemos x^{2/3}.

Passo 5

Agora uso que, quando x\to+\infty, temos \tfrac{1}{x}\to0. A função t\mapsto t^{1/3} é contínua, então
\big(1+\tfrac{1}{x}\big)^{1/3}\to 1,\qquad \big(1-\tfrac{1}{x}\big)^{1/3}\to 1.
Portanto o colchete da expressão do passo anterior tende a
1^2 + 1\cdot 1 + 1^2 = 3.
Assim, para x grande
a^2+ab+b^2 \sim 3\,x^{2/3},
onde o símbolo \sim significa “tem o mesmo comportamento principal”.

Passo 6

Voltando à expressão original,
\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1} =\frac{2}{a^2+ab+b^2} \sim \frac{2}{3\,x^{2/3}}.
Como x^{2/3}\to+\infty quando x\to+\infty, segue que a fração \tfrac{2}{3\,x^{2/3}} tende a 0. Portanto a diferença das raízes cúbicas também tende a 0. (Se quiser, temos também o limite refinado
\lim_{x\to\infty} x^{2/3}\big(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}\big)=\tfrac{2}{3},
o que confirma o equivalente acima.)

Resposta

0

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