Determine se as funções vetoriais abaixo são contínuas nos pontos indicados:
f(t)=cc|t|t i+t j, & t neq 0 0, & t=0

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função vetorial
|t|t,vec i + t,vec j,&tneq0, 0,&t=0
Estamos na matéria de continuidade de funções vetoriais; para isso precisamos lembrar que vec f é contínua em t0 se e somente se
limtto t0vec f(t)=vec f(t0).

Passo 2

Para tneq0, a componente i é |t|t, que vale +1 para t>0 e -1 para t<0, ou seja, é constante em cada ramo, logo contínua. A componente j é t, polinomial, então também contínua. Assim, vec f é contínua em todo tneq0.

Passo 3

Agora em t=0, calculemos o limite de vec f(t) quando tto0. A componente j tende a 0, mas a componente i vale |t|t, cujo limite lateral à direita é +1 e à esquerda é -1. Como não há um único valor limite, limtto0vec f(t) não existe e, portanto, vec f não é contínua em t=0.

Resposta

A função é contínua para todo tneq0 e não é contínua em t=0.

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