Calcule os seguintes limites:
; considere
e
diferente de zero.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
para dois casos:
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do limite é
. - O parâmetro
pode ser zero ou diferente de zero; devemos tratar cada caso separadamente. - Ao simplificar, observe que
e .
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática): a expressão tem a forma de um quociente de diferença
com
. Se for conveniente, podemos fazer a substituição
para transformar o limite em
quando
(equivalente a
). Vou usar um argumento algébrico elementar que não exige memorização da fórmula da derivada: usar a fatoração relacionada a potências cúbicas para manipular a diferença
.
Lembrete de fatoração (fórmula útil): para quaisquer
e
,
pois isso é a identitade da diferença de cubos aplicada a
e
.
Passo 3
Caso
. Fazer a substituição
. Então o limite original transforma-se em
Agora uso a fatoração citada para relacionar
com
. Observe que
Também escrevo
Dividindo ambas as expressões, obtenho
desde que
; mas esse quociente estende-se por continuidade ao ponto
.
Agora tomo o limite quando
. Substituindo
nas expressões do numerador e denominador:
- o numerador tende a
; - o denominador tende a
.
Portanto
Simplificando a potência de
:
Isso vale para todo
. Notas sobre sinais: a notação
representa
, e está bem definida mesmo quando
porque a raiz cúbica de número negativo é negativa.
Passo 4
Caso
. Substituindo
direto na expressão do limite, obtemos
Uma forma mais simples é notar que
. Assim a expressão é
Agora analisamos o comportamento quando
:
- Se
, então . - Se
, então tende para (porque a raiz cúbica de um número negativo é negativa, e divisão por número que vai a dá ).
Como as duas limites laterais não coincidem (um vai a
e o outro a
), o limite bilateral quando
não existe (nem como número finito nem como
ou
único).
Passo 5
Resumo interpretativo e dica para prova: para
a expressão é exatamente um quociente de diferença de
e pode ser calculada por fatoração algébrica ou reconhecida como a derivada de
em
. Para
a expressão simplifica para
e diverge de sinais opostos nas duas direções, logo o limite não existe.