Calcule os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt[3]{(t+a)^{2}}-\sqrt[3]{a^{2}}}{t}\right); considere a=0 e a diferente de zero.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to 0}\left(\frac{\sqrt[3]{(t+a)^{2}}-\sqrt[3]{a^{2}}}{t}\right)
para dois casos: a=0 e a\neq 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do limite é \dfrac{\sqrt[3]{(t+a)^{2}}-\sqrt[3]{a^{2}}}{t}.
  • O parâmetro a pode ser zero ou diferente de zero; devemos tratar cada caso separadamente.
  • Ao simplificar, observe que \sqrt[3]{(t+a)^{2}} = (t+a)^{2/3} e \sqrt[3]{a^{2}} = a^{2/3}.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática): a expressão tem a forma de um quociente de diferença \dfrac{f(a+t)-f(a)}{t} com f(x)=x^{2/3}. Se for conveniente, podemos fazer a substituição u=a+t para transformar o limite em \dfrac{u^{2/3}-a^{2/3}}{u-a} quando t\to0 (equivalente a u\to a). Vou usar um argumento algébrico elementar que não exige memorização da fórmula da derivada: usar a fatoração relacionada a potências cúbicas para manipular a diferença u^{2/3}-a^{2/3}.
Lembrete de fatoração (fórmula útil): para quaisquer X e Y,
X-Y=(X^{1/3}-Y^{1/3})\bigl(X^{2/3}+X^{1/3}Y^{1/3}+Y^{2/3}\bigr),
pois isso é a identitade da diferença de cubos aplicada a X^{1/3} e Y^{1/3}.

Passo 3

Caso a\neq 0. Fazer a substituição u=a+t. Então o limite original transforma-se em
\lim_{t\to 0}\frac{(a+t)^{2/3}-a^{2/3}}{t} = \lim_{u\to a}\frac{u^{2/3}-a^{2/3}}{u-a}.
Agora uso a fatoração citada para relacionar u^{2/3}-a^{2/3} com u-a. Observe que
u-a=(u^{1/3}-a^{1/3})\bigl(u^{2/3}+u^{1/3}a^{1/3}+a^{2/3}\bigr).
Também escrevo
u^{2/3}-a^{2/3}=(u^{1/3}-a^{1/3})(u^{1/3}+a^{1/3}).
Dividindo ambas as expressões, obtenho
\frac{u^{2/3}-a^{2/3}}{u-a} = \frac{(u^{1/3}-a^{1/3})(u^{1/3}+a^{1/3})} {(u^{1/3}-a^{1/3})\bigl(u^{2/3}+u^{1/3}a^{1/3}+a^{2/3}\bigr)} = \frac{u^{1/3}+a^{1/3}}{u^{2/3}+u^{1/3}a^{1/3}+a^{2/3}},
desde que u^{1/3}-a^{1/3}\neq 0; mas esse quociente estende-se por continuidade ao ponto u=a.
Agora tomo o limite quando u\to a. Substituindo u\to a nas expressões do numerador e denominador:
  • o numerador tende a a^{1/3}+a^{1/3}=2a^{1/3};
  • o denominador tende a a^{2/3}+a^{1/3}a^{1/3}+a^{2/3}=3a^{2/3}.
Portanto
\lim_{u\to a}\frac{u^{2/3}-a^{2/3}}{u-a} = \frac{2a^{1/3}}{3a^{2/3}}.
Simplificando a potência de a:
\frac{2a^{1/3}}{3a^{2/3}}=\frac{2}{3}a^{-1/3}.
Isso vale para todo a\neq 0. Notas sobre sinais: a notação a^{-1/3} representa \dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}, e está bem definida mesmo quando a<0 porque a raiz cúbica de número negativo é negativa.

Passo 4

Caso a=0. Substituindo a=0 direto na expressão do limite, obtemos
\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt[3]{(t+0)^{2}}-\sqrt[3]{0^{2}}}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt[3]{t^{2}}}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{|t|^{2/3}}{t}.
Uma forma mais simples é notar que \sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}=t^{2/3}. Assim a expressão é
\frac{t^{2/3}}{t}=t^{-1/3}.
Agora analisamos o comportamento quando t\to 0:
  • Se t\to 0^+, então t^{-1/3}\to +\infty.
  • Se t\to 0^-, então t^{-1/3}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{t}} tende para -\infty (porque a raiz cúbica de um número negativo é negativa, e divisão por número que vai a 0^- -\infty).
Como as duas limites laterais não coincidem (um vai a +\infty e o outro a -\infty), o limite bilateral quando t\to 0 não existe (nem como número finito nem como +\infty ou -\infty único).

Passo 5

Resumo interpretativo e dica para prova: para a\neq 0 a expressão é exatamente um quociente de diferença de x^{2/3} e pode ser calculada por fatoração algébrica ou reconhecida como a derivada de x^{2/3} em x=a. Para a=0 a expressão simplifica para t^{-1/3} e diverge de sinais opostos nas duas direções, logo o limite não existe.

Resposta

\displaystyle\text{Para }a\neq 0:\\ \frac{2}{3}a^{-1/3}.\n \displaystyle\text{Para }a=0:\\ \text{o limite não existe (diverge, com limites laterais }+\infty\text{ e }-\infty\text{).}ã

Exercícios relacionados