Calcule os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow 0}(t-\operatorname{tg} t) t^{-3}

Passo 1

O enunciado pede
limtto0(t-tgt),t^-3
Aqui vamos usar expansão em séries de Taylor das funções trigonométricas em torno de 0 para calcular esse limite.

Passo 2

Primeiro vamos anotar as séries de Taylor de sin t e cos t até a ordem t^4:
sin t = t - tfract^36 + O(t^5),
cos t = 1 - tfract^22 + tfract^424 + O(t^6)

Passo 3

Queremos tan t = dfracsin tcos t. Para isso usamos a série recíproca de cos t:
1cos t = 1 + tfract^22 + O(t^4)
Multiplicando:
tan t = l(t - tfract^36 + O(t^5)r)l(1 + tfract^22 + O(t^4)r) = t + tfract^33 + O(t^5)

Passo 4

Agora o numerador do limite é
t - tan t = -tfract^33 + O(t^5)
Dividindo por t^3,
(t - tan t),t^-3 = -tfrac13 + O(t^2)

Passo 5

Quando tto0, o termo O(t^2) tende a zero. Logo
limtto0(t-tan t),t^-3 = -tfrac13

Resposta

-tfrac13

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