Considere a sequéncia (pi^nn!)n in N. Em cada ltem, faça o que se pede.
(a) Mostre que a sequencia é estritamente decrescente a partir do seu terceiro termo;
(b) Mostre que a sequencia el limitada;
(c) A sequéncia é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da requéncia.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = pi^nn!, ninN,
e pede para estudar (a) a monotonicidade a partir de n=3, (b) mostrar que é limitada e (c) verificar convergência e, em caso positivo, achar limntoinftyan. Vamos usar o teste da razão para monotonicidade e convergência, além de raciocínio sobre crescimento de fatorial versus exponencial.

Passo 2

Para verificar se a sequência é estritamente decrescente a partir de n=3, calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = pi^n+1/(n+1)!pi^n/n! = pin+1
Quando n>=3 temos n+1>=4 e, como pi<4, resulta
pin+1<1
Logo an+1<an para todo n>=3, isto é, a sequência é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.

Passo 3

Cada an é positivo. Como a partir de n=3 a sequência decresce, temos
0 < an <= maxa1,a2,a3 para todo n>=3
Isso mostra que existe um teto (por exemplo maxa1,a2,a3) e que a sequência nunca fica abaixo de zero. Portanto, (an) é limitada.

Passo 4

Para estudar a convergência, observe novamente a razão
limntoinftyan+1an = limntoinftypin+1 =0<1
Quando a razão tende a um valor menor que 1, concluímos que limntoinftyan=0. Intuitivamente, como n! cresce muito mais rápido que pi^n, os termos an vão a zero.

Resposta

(a) A sequência satisfaz
an+1an = pin+1<1 (para n>=3),
logo é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.
(b) Como 0<an<=maxa1,a2,a3, a sequência é limitada.
(c) A sequência converge e
limntoinftyan = 0

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