Considere a sequéncia
. Em cada ltem, faça o que se pede.
(a) Mostre que a sequencia é estritamente decrescente a partir do seu terceiro termo;
(b) Mostre que a sequencia el limitada;
(c) A sequéncia é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da requéncia.
(a) Mostre que a sequencia é estritamente decrescente a partir do seu terceiro termo;
(b) Mostre que a sequencia el limitada;
(c) A sequéncia é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da requéncia.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para estudar (a) a monotonicidade a partir de
, (b) mostrar que é limitada e (c) verificar convergência e, em caso positivo, achar
. Vamos usar o teste da razão para monotonicidade e convergência, além de raciocínio sobre crescimento de fatorial versus exponencial.
Passo 2
Para verificar se a sequência é estritamente decrescente a partir de
, calculamos a razão entre termos consecutivos:
Quando
temos
e, como
, resulta
Logo
para todo
, isto é, a sequência é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.
Passo 3
Cada
é positivo. Como a partir de
a sequência decresce, temos
Isso mostra que existe um teto (por exemplo
) e que a sequência nunca fica abaixo de zero. Portanto,
é limitada.
Passo 4
Para estudar a convergência, observe novamente a razão
Quando a razão tende a um valor menor que 1, concluímos que
. Intuitivamente, como
cresce muito mais rápido que
, os termos
vão a zero.
Resposta
(a) A sequência satisfaz
logo é estritamente decrescente a partir do terceiro termo.
(b) Como , a sequência é limitada.
(c) A sequência converge e
(b) Como
(c) A sequência converge e