Mostre que os pontos médios dos lados de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se ABC é um triângulo isósceles com AB=AC, então o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de ABC também é isósceles. O conteúdo que vamos usar é geometria vetorial no plano e a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Sejam vec a, vec b e vec c os vetores de posição dos vértices A, B e C. Denotemos por A', B' e C' os pontos médios de BC, CA e AB, respectivamente. Então os vetores de posição desses pontos são
a' = vec b + vec c2, b' = vec c + vec a2, c' = vec a + vec b2

Passo 3

Agora calculamos os vetores que representam dois lados do triângulo A'B'C':
A'B' = b' - a' = vec c + vec a2 - vec b + vec c2 = vec a - vec b2,
A'C' = c' - a' = vec a + vec b2 - vec b + vec c2 = vec a - vec c2
Os comprimentos desses lados são
A'B' = l|A'B'r| = l|vec a - vec br|2 = AB2, A'C' = l|A'C'r| = l|vec a - vec cr|2 = AC2

Passo 4

Como AB = AC no triângulo isósceles ABC, segue que
A'B' = AB2 = AC2 = A'C'
Logo o triângulo A'B'C' tem dois lados iguais e, portanto, é também isósceles.

Resposta

O triângulo formado pelos pontos médios dos lados de um triângulo isósceles é isósceles.

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