Calcule os seguintes limites:
lim x 12 2 x^2+5 x-36 x^2-7 x+2

Passo 1

A gente quer calcular o limite limxtotfrac122x^2+5x-36x^2-7x+2. Isso é um limite de função racional e, se a gente substituir x=tfrac12, tanto o numerador quanto o denominador viram zero, gerando indeterminação do tipo 0/0. Por isso, vamos precisar fatorar e simplificar.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador 2x^2+5x-3. Note que
2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador 6x^2-7x+2. Observamos que
6x^2-7x+2=(3x-2)(2x-1)

Passo 4

Com as duas fatorações, a fração original fica
2x^2+5x-36x^2-7x+2=(2x-1)(x+3)(3x-2)(2x-1)=x+33x-2, xneqtfrac12

Passo 5

Agora que a indeterminação foi removida, podemos aplicar o limite direto na forma simplificada:
limxtotfrac12x+33x-2=tfrac12+33cdottfrac12-2=7/23/2-2=7/2-1/2=-7

Resposta

-7

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