Determine fx x, fx y, fy x e fy y para cada uma das seguintes funções:
f(x, y)=x^3 y^4+x^4 y^3

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y)=x^3y^4 + x^4y^3 e queremos as derivadas parciais de segunda ordem: fxx,fxy,fyx e fyy. Vamos usar a regra da potência e do produto, lembrando que, ao derivar em relação a x, tratamos y como constante e vice-versa.

Passo 2

Primeiro derivamos em relação a x e y para obter as derivadas de primeira ordem. Derivando f em relação a x:
partial fpartial x = fx = 3x^2y^4 + 4x^3y^3
Derivando f em relação a y:
partial fpartial y = fy = 4x^3y^3 + 3x^4y^2

Passo 3

Agora calculamos fxx e fxy. Para fxx, derivamos fx em relação a x:
fxx = partialpartial x(3x^2y^4 + 4x^3y^3) = 6xy^4 + 12x^2y^3
Para fxy, derivamos fx em relação a y:
fxy = partialpartial y(3x^2y^4 + 4x^3y^3) = 12x^2y^3 + 12x^3y^2

Passo 4

Por fim calculamos fyx e fyy. Para fyx, derivamos fy em relação a x:
fyx = partialpartial x(4x^3y^3 + 3x^4y^2) = 12x^2y^3 + 12x^3y^2
Para fyy, derivamos fy em relação a y:
fyy = partialpartial y(4x^3y^3 + 3x^4y^2) = 12x^3y^2 + 6x^4y
Repare que fxy=fyx, como previsto pelo teorema de Schwarz.

Resposta

fxx = 6xy^4 + 12x^2y^3, fxy = 12x^2y^3 + 12x^3y^2, fyx = 12x^2y^3 + 12x^3y^2, fyy = 12x^3y^2 + 6x^4y

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