Faça um esboço dos gráficos das funções e determine o seu conjunto imagem:
f(x)=-x^2+4 x-4

Passo 1

Temos a função quadrática f(x) = -x^2 + 4x - 4. O conteúdo aqui é “funções polinomiais do 2º grau” (parábolas), e para resolver vamos precisar identificar a concavidade pelo coeficiente a, calcular o vértice (ponto de máximo/mínimo), traçar um esboço da parábola e, a partir disso, encontrar o conjunto imagem (range).

Passo 2

Numa função do 2º grau f(x)=ax^2+bx+c, o coeficiente a determina a concavidade. Aqui a=-1<0, então a parábola é voltada para baixo e o vértice será um ponto de máximo. Os coeficientes são a=-1, b=4 e c=-4.

Passo 3

O vértice de uma parábola é dado por xv = -tfracb2a. Substituindo,
xv = -42cdot(-1) = 2

Passo 4

Para encontrar yv, basta avaliar f(2):
yv = f(2)= -2^2 + 4cdot2 - 4 = -4 + 8 -4 = 0

Passo 5

Então o vértice é o ponto (2,0), que é o valor máximo de f(x).

Passo 6

Para esboçar: a parábola abre para baixo, passa pelo vértice (2,0), toca o eixo x em x=2 (raízes são solução de -x^2+4x-4=0, ou (x-2)^2=0, raiz dupla em 2) e cruza o eixo y em f(0)=-4.

Passo 7

Como a parábola tem concavidade para baixo e seu valor máximo é yv=0, a função nunca ultrapassa 0 e pode assumir valores tão pequenos quanto quisermos. Portanto, o conjunto imagem é
Im(f)=(-infty,,0]

Resposta

O esboço é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (2,0), tocando o eixo x em x=2 e cruzando o eixo y em (0,−4). O conjunto imagem é (−∞, 0].

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