Faça um esboço dos gráficos das funções e determine o seu conjunto imagem:
Passo 1
Temos a função quadrática
. O conteúdo aqui é “funções polinomiais do 2º grau” (parábolas), e para resolver vamos precisar identificar a concavidade pelo coeficiente
, calcular o vértice (ponto de máximo/mínimo), traçar um esboço da parábola e, a partir disso, encontrar o conjunto imagem (range).
Passo 2
Numa função do 2º grau
, o coeficiente
determina a concavidade. Aqui
, então a parábola é voltada para baixo e o vértice será um ponto de máximo. Os coeficientes são
,
e
.
Passo 3
O vértice de uma parábola é dado por
. Substituindo,
Passo 4
Para encontrar
, basta avaliar
:
Passo 5
Então o vértice é o ponto
, que é o valor máximo de
.
Passo 6
Para esboçar: a parábola abre para baixo, passa pelo vértice
, toca o eixo
em
(raízes são solução de
, ou
, raiz dupla em 2) e cruza o eixo
em
.
Passo 7
Como a parábola tem concavidade para baixo e seu valor máximo é
, a função nunca ultrapassa
e pode assumir valores tão pequenos quanto quisermos. Portanto, o conjunto imagem é
Resposta
O esboço é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (2,0), tocando o eixo x em x=2 e cruzando o eixo y em (0,−4). O conjunto imagem é (−∞, 0].