Faça um esboço dos gráficos das funções e determine o seu conjunto imagem:
f(x)=x^3+2 x^2-x-2x+2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=x^3+2x^2-x-2x+2 e determinar o seu conjunto imagem. Para isso, vamos usar conteúdos de funções racionais: fatoração de polinômios, simplificação da expressão, análise de domínio (descontinuidade removível) e estudo de intervalo de valores de y.

Passo 2

Fatoramos o numerador por agrupamento. Observe:
x^3 + 2x^2 - x - 2 = x^2(x+2) - 1(x+2) = (x^2 - 1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x+2)

Passo 3

Substituindo na definição de f:
f(x) = (x-1)(x+1)(x+2)x+2

Passo 4

Como x+2 se cancela para xneq -2, obtemos
f(x) = x^2 - 1, x neq -2

Passo 5

O domínio original é R setminus -2. Em x=-2 há uma descontinuidade removível pois o valor correspondente seria f(-2)=(-2)^2-1=3, mas esse ponto fica “vazado” no gráfico.

Passo 6

O gráfico é o da parábola y=x^2-1 com vértice em (0,-1), e ainda marcamos um círculo aberto em (-2,3) para indicar o furo. Como a parábola y=x^2-1 atinge todos os valores y>= -1 e o valor -1 ocorre em x=0 (que pertence ao domínio), o conjunto imagem de f é
[-1,infty)

Resposta

[-1,infty)

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