Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede para calcular o limite de uma função racional quando x tende a 1. O conteúdo principal aqui é tratar a indeterminação do tipo 0/0 por meio de fatoração de polinômios, especialmente usando a diferença de potências e fatoração de quadrática.
Passo 2
Começamos fatorando o numerador
. Observe que
é uma diferença de quadrados, pois
. Aplicando
, temos:
Em seguida, note que
também é diferença de quadrados, logo:
Portanto, o numerador fica:
Passo 3
Agora fatoramos o denominador
. Para isso, podemos buscar duas raízes ou usar fatoração por agrupamento. Verifica-se que:
Você pode checar expandindo
e confirmando que volta a dar
.
Passo 4
Com as fatorações, a expressão do limite fica:
Como estamos no caso de indeterminação 0/0, podemos cancelar o fator
, válido para
. A função simplificada é:
Passo 5
Agora que a expressão não gera mais indeterminação em
, basta substituir diretamente
. Calculamos cada parte:
e
Logo o valor do limite é .
Logo o valor do limite é
Resposta
2