Calcule os seguintes limites:
lim x 1 x^4-13 x^2-4 x+1

Passo 1

O problema pede para calcular o limite de uma função racional quando x tende a 1. O conteúdo principal aqui é tratar a indeterminação do tipo 0/0 por meio de fatoração de polinômios, especialmente usando a diferença de potências e fatoração de quadrática.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador x^4-1. Observe que x^4-1 é uma diferença de quadrados, pois x^4-1=(x^2)^2-1^2. Aplicando a^2-b^2=(a-b)(a+b), temos:
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)
Em seguida, note que x^2-1 também é diferença de quadrados, logo:
x^2-1=(x-1)(x+1)
Portanto, o numerador fica:
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)

Passo 3

Agora fatoramos o denominador 3x^2-4x+1. Para isso, podemos buscar duas raízes ou usar fatoração por agrupamento. Verifica-se que:
3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)
Você pode checar expandindo (3x-1)(x-1) e confirmando que volta a dar 3x^2-4x+1.

Passo 4

Com as fatorações, a expressão do limite fica:
x^4-13x^2-4x+1= (x-1)(x+1)(x^2+1)(x-1)(3x-1)
Como estamos no caso de indeterminação 0/0, podemos cancelar o fator (x-1), válido para xneq1. A função simplificada é:
(x+1)(x^2+1)3x-1

Passo 5

Agora que a expressão não gera mais indeterminação em x=1, basta substituir diretamente x=1. Calculamos cada parte:
4/2=2 e

Logo o valor do limite é .

Resposta

2

Exercícios relacionados