Calcule os seguintes limites:
lim x -14 t g^3 x-3 tg xcos (x+pi6).

Passo 1

O problema pede o limite trigonométrico limxto -tfracpi4dfractan^3 x - 3tan xcosl(x+tfracpi6r). O conteúdo envolve limites por substituição direta e valores de funções trigonométricas em ângulos notáveis.

Passo 2

Primeiro verificamos se há indeterminação. Substituindo x=-tfracpi4 no numerador e denominador, vemos que ambos são finitos e não zero, então podemos usar substituição direta.

Passo 3

Calculamos o numerador: sabendo que tan(-tfracpi4)=-1, temos
tan^3(-tfracpi4)-3tan(-tfracpi4) = (-1)^3 -3(-1) = -1 +3 = 2

Passo 4

Calculamos o denominador: o ângulo é
-tfracpi4 + tfracpi6 = -tfracpi12
E como cos(-theta)=costheta,
cosl(-tfracpi12r) = costfracpi12 = raiz6 + raiz24

Passo 5

Agora o limite fica
2tfracraiz6+raiz24 = 2cdot4raiz6+raiz2 = 8raiz6+raiz2
Racionalizando o denominador:
8raiz6+raiz2 cdot raiz6-raiz2raiz6-raiz2 = 8(raiz6-raiz2)6-2 = 2(raiz6-raiz2)

Passo 6

Portanto, o valor do limite é 2(raiz6 - raiz2).

Resposta

2(\sqrt6 - \sqrt2)

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