Utilize o método de fator integrante apropriado para encontrar a solução geral das seguintes EDO, e depois, faça um esboço das curvas integrais (campo de soluções):
2 y^prime+y=3 t.

Passo 1

A EDO dada é a de primeira ordem não homogênea 2y'+y=3t. Vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral e depois esboçar o campo de soluções.

Passo 2

Primeiro colocamos na forma padrão y'+p(t)y=g(t). Dividindo por 2: fica y'+tfrac12y=tfrac32t, então p(t)=tfrac12 e g(t)=tfrac32t.

Passo 3

Calculamos o fator integrante (\mu(t)=e^{\int p(t),dt}=e{\int\tfrac12,dt}=e{t/2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t). O lado esquerdo vira derivada do produto:
ddtl(y,e^t/2r)=tfrac32t,e^t/2

Passo 5

Integramos ambos os lados. No lado direito usamos integração por partes em integral!t e^t/2dt:
integraltfrac32t e^t/2dt=tfrac32l(2te^t/2-4e^t/2r)+C=3te^t/2-6e^t/2+C

Passo 6

Portanto
y,e^t/2=3te^t/2-6e^t/2+C
e isolando y obtemos
y=3t-6+Ce^-t/2

Passo 7

As curvas integrais formam uma família para diferentes C. Cada solução se afasta da reta assintótica y=3t-6 num decaimento exponencial e^-t/2. No esboço, traçamos várias curvas com deslocamentos verticais em torno de y=3t-6, all convergindo para essa reta à medida que tto+infty.

Resposta

A solução geral é y(t)=3t-6+Ce^-t/2.

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