Utilize o método de fator integrante apropriado para encontrar a solução geral das seguintes EDO, e depois, faça um esboço das curvas integrais (campo de soluções):
.
Passo 1
A EDO dada é a de primeira ordem não homogênea
. Vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral e depois esboçar o campo de soluções.
Passo 2
Primeiro colocamos na forma padrão
. Dividindo por 2: fica
, então
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante (\mu(t)=e^{\int p(t),dt}=e{\int\tfrac12,dt}=e{t/2}.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados. No lado direito usamos integração por partes em
:
Passo 6
Portanto
e isolando
Passo 7
As curvas integrais formam uma família para diferentes
. Cada solução se afasta da reta assintótica
num decaimento exponencial
. No esboço, traçamos várias curvas com deslocamentos verticais em torno de
, all convergindo para essa reta à medida que
.
Resposta
A solução geral é
.