Calcule
onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
, onde
é a região no plano dada por três condições: estar fora do disco de raio 1 centrado em
, dentro do disco de raio 2 centrado em
e na faixa entre
e
. O conteúdo principal é integral dupla em coordenadas polares; vamos usar a mudança
,
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
implicando
. As desigualdades dos círculos ficam assim:
- Para
temos , que simplifica para . - Para
temos , que dá .
Passo 3
Logo,
varia de 0 a
e, para cada
,
vai de
até
.
Passo 4
A integral vira
Como
e o jacobiano é
, o integrando fica
. Primeiro integramos em
:
Passo 5
Então a integral reduz a
Usando
temos