Calcule
integral duplaD yx d x d y
onde D=(x, y) in R^2:(x-1)^2+y^2 >= 1,(x-2)^2+y^2 <= 4,0 <= y <= x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla integral duplaDyx,dx,dy, onde D é a região no plano dada por três condições: estar fora do disco de raio 1 centrado em (1,0), dentro do disco de raio 2 centrado em (2,0) e na faixa entre y=0 e y=x. O conteúdo principal é integral dupla em coordenadas polares; vamos usar a mudança x=rcostheta, y=rsintheta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos y>=0 e y<= x implicando 0<=theta<=pi/4. As desigualdades dos círculos ficam assim:
  • Para (x-1)^2+y^2>=1 temos (rcostheta-1)^2+r^2sin^2theta>=1, que simplifica para r>=2costheta.
  • Para (x-2)^2+y^2<=4 temos (rcostheta-2)^2+r^2sin^2theta<=4, que dá r<=4costheta.

Passo 3

Logo, theta varia de 0 a pi/4 e, para cada theta, r vai de 2costheta até 4costheta.

Passo 4

A integral vira
integral0^pi/4integral2costheta^4costhetayx,r,dr,dtheta
Como y/x=tantheta e o jacobiano é r, o integrando fica tantheta,r. Primeiro integramos em r:
integral2costheta^4costhetar,dr=tfrac12l[(4costheta)^2-(2costheta)^2r]=6cos^2theta

Passo 5

Então a integral reduz a
integral0^pi/46cos^2thetatantheta,dtheta=6integral0^pi/4sinthetacostheta,dtheta
Usando sinthetacostheta=tfrac12sin2theta temos
6integral0^pi/4sinthetacostheta,dtheta=3integral0^pi/4sin2theta,dtheta=-tfrac32[cos2theta]0^pi/4=tfrac32

Resposta

tfrac32

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