Usando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial (use que Lsen(a t)=a /(s^wed>= 2+a^wed>= 2)).
2 y^prime prime+y^prime=3 sen(t)
y(0)=1
y^prime(0)=1

Passo 1

Nesse exercício, a ideia é usar transformada de Laplace para encontrar a solução de 2ª ordem com condições iniciais: 2y’’ + y’ = 3 sen(t), y(0)=1 e y’(0)=1. Vamos precisar da transformada de derivadas (L{y’} = sY - y(0), L{y’’} = s²Y - s y(0) - y’(0)), da transformada de senos e de frações parciais pra inverter Y(s) de volta.

Passo 2

Aplicamos Laplace em cada termo e já plugamos y(0)=1, y’(0)=1:
2l(s^2Y(s)-scdot1-1r)+(sY(s)-1)=3cdot1s^2+1

Passo 3

Isso simplifica para
(2s^2+s)Y(s)-(2s+3)=3s^2+1,

Passo 4

e isolando Y(s):
Y(s)=2s+32s^2+s+3(s^2+1)(2s^2+s)=2s+3s(2s+1)+3s(2s+1)(s^2+1)

Passo 5

Agora separamos em duas parcelas e fazemos fração parcial. Para
2s+3s(2s+1)=As+B2s+1,

Passo 6

impõe-se 2s+3=A(2s+1)+Bs, daí A=3 e B=-4. Logo
2s+3s(2s+1)=3s-42s+1

Passo 7

Para
3s(2s+1)(s^2+1)=As+B2s+1+Cs+Ds^2+1,

Passo 8

monta-se o sistema pelo numerador e resolve-se obtendo A=3, B=-24/5, C=-3/5, D=-6/5.

Passo 9

Reunindo tudo:
Y(s)=3s-42s+1+3s-24/52s+1+-tfrac35s-tfrac65s^2+1 = 6s-44/52s+1+-tfrac35s-tfrac65s^2+1

Passo 10

Por fim, invertendo termo a termo usando L^{-1}{1/s}=1, L^{-1}{1/(2s+1)}=\tfrac12 e^{-t/2}, L{-1}{s/(s2+1)}=\cos t, L{-1}{1/(s2+1)}=\sin t:
y(t)=6 - 44/52e^-t/2-35cos t-65sin t = 6 - 225e^-t/2-35cos t-65sin t

Resposta

y(t)=6 - \frac{22}{5}e^{-t/2} - \frac{3}{5}\cos t - \frac{6}{5}\sin t

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