Usando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial (use que
.
Passo 1
Nesse exercício, a ideia é usar transformada de Laplace para encontrar a solução de 2ª ordem com condições iniciais: 2y’’ + y’ = 3 sen(t), y(0)=1 e y’(0)=1. Vamos precisar da transformada de derivadas (L{y’} = sY - y(0), L{y’’} = s²Y - s y(0) - y’(0)), da transformada de senos e de frações parciais pra inverter Y(s) de volta.
Passo 2
Aplicamos Laplace em cada termo e já plugamos y(0)=1, y’(0)=1:
Passo 3
Isso simplifica para
Passo 4
e isolando Y(s):
Passo 5
Agora separamos em duas parcelas e fazemos fração parcial. Para
Passo 6
impõe-se 2s+3=A(2s+1)+Bs, daí A=3 e B=-4. Logo
Passo 7
Para
Passo 8
monta-se o sistema pelo numerador e resolve-se obtendo A=3, B=-24/5, C=-3/5, D=-6/5.
Passo 9
Reunindo tudo:
Passo 10
Por fim, invertendo termo a termo usando L^{-1}{1/s}=1, L^{-1}{1/(2s+1)}=\tfrac12 e^{-t/2}, L{-1}{s/(s2+1)}=\cos t, L{-1}{1/(s2+1)}=\sin t:
Resposta
y(t)=6 - \frac{22}{5}e^{-t/2} - \frac{3}{5}\cos t - \frac{6}{5}\sin t