Calcule os seguintes limites.
lim x 2 x^4-16x^2-6 x+8

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto2x^4-16x^2-6x+8. Esse é um limite de função racional em que, ao substituir x=2, numerador e denominador vão a zero, gerando indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador. Note que x^4-16 é diferença de quadrados, pois x^4=(x^2)^2 e 16=4^2. Assim,
x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)
e o denominador é um trinomio do segundo grau que se fatoriza em
x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)

Passo 3

Como ambos numerador e denominador têm o fator (x-2), podemos simplificar a expressão para xneq2:
x^4-16x^2-6x+8 = (x-2)(x+2)(x^2+4)(x-2)(x-4) = (x+2)(x^2+4)x-4

Passo 4

Agora a função equivalente não apresenta indeterminação em x=2, então podemos substituir diretamente x=2:
(2+2)(2^2+4)2-4 = 4 cdot 8-2 = -16

Resposta

-16

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