Calcule os seguintes limites.
lim x 2 4-x^2(7-x^2)^4-81

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto2dfrac4 - x^2(7 - x^2)^4 - 81. O conteúdo principal é limites com indeterminação 0/0 e fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Substituindo x=2 diretamente vemos que o numerador fica 4 - 2^2 = 0 e o denominador fica (7 - 2^2)^4 - 81 = 3^4 - 81 = 81 - 81 = 0, ou seja, temos uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Para resolver, definimos A = 7 - x^2. Então o denominador é A^4 - 3^4. Podemos usar a fatoração de diferença de quartas potências:
A^4 - 3^4 = (A - 3)(A + 3)(A^2 + 9)
Repare que
A - 3 = 7 - x^2 - 3 = 4 - x^2,
que é exatamente o numerador.

Passo 4

Cancelamos o fator comum 4 - x^2 no numerador e no denominador. Assim o limite passa a ser:
limxto2 1(A + 3)(A^2 + 9)
com A = 7 - x^2.

Passo 5

Basta agora substituir x = 2, o que dá A = 7 - 4 = 3. Logo:
limxto2 1(3 + 3)(3^2 + 9) = 16 cdot 18 = 1108

Resposta

1/108

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