Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com potências que têm variáveis no expoente e na base, além de saber trabalhar com a função tangente próxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. Sabemos que qualquer expressão da forma
pode ser escrita como
. Então, aplicando isso ao nosso limite:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
O próximo passo é focar no expoente da função exponencial, ou seja,
. Vamos calcular o limite desse produto separadamente:
Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
(pois
para valores pequenos de
). Além disso,
.
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o limite
. Sabemos que, conforme
se aproxima de 0,
vai para 0 e
vai para
. Temos, portanto, uma forma indeterminada do tipo
.
Para resolver isso, podemos reescrever o produto como uma fração:
Agora, essa é uma forma indeterminada
, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador
em relação a
é
.
Derivada do denominador
em relação a
é
.
Então, o limite se torna:
Portanto,
Passo 6
Voltando ao nosso limite anterior:
Então, o expoente da função exponencial no nosso limite original é 0.
Resposta
Finalmente, temos: