Calcule os seguintes limites:
lim x 0(1x)^tan (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 0(1x)^tan (x). Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com potências que têm variáveis no expoente e na base, além de saber trabalhar com a função tangente próxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. Sabemos que qualquer expressão da forma a^b pode ser escrita como e^b ln(a). Então, aplicando isso ao nosso limite:
(1x)^tan(x) = e^tan(x) cdot ln(1x)
Agora, nosso limite fica:
limx 0 e^tan(x) cdot ln(1x)

Passo 3

O próximo passo é focar no expoente da função exponencial, ou seja, tan(x) cdot ln(1x). Vamos calcular o limite desse produto separadamente:
limx 0 tan(x) cdot ln(1x)
Sabemos que quando x se aproxima de 0, tan(x) se aproxima de x (pois tan(x) approx x para valores pequenos de x). Além disso, ln(1x) = -ln(x).
Então, substituindo:
limx 0 x cdot (-ln(x)) = -limx 0 x cdot ln(x)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o limite limx 0 x cdot ln(x). Sabemos que, conforme x se aproxima de 0, x vai para 0 e ln(x) vai para -infty. Temos, portanto, uma forma indeterminada do tipo 0 cdot (-infty).
Para resolver isso, podemos reescrever o produto como uma fração:
limx 0 x cdot ln(x) = limx 0 ln(x)1x
Agora, essa é uma forma indeterminada -inftyinfty, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador ln(x) em relação a x é 1x.
Derivada do denominador 1x em relação a x é -1x^2.
Então, o limite se torna:
limx 0 1x-1x^2 = limx 0 -x^2x = limx 0 -x = 0
Portanto,
limx 0 x cdot ln(x) = 0

Passo 6

Voltando ao nosso limite anterior:
-limx 0 x cdot ln(x) = -0 = 0
Então, o expoente da função exponencial no nosso limite original é 0.

Resposta

Finalmente, temos:
limx 0(1x)^tan(x) = e^0 = 1

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