Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2 x y’’ + (3 - 4 x) y’ + (2 x - 3) y = 0
usando o método de Frobenius em torno de x = 0. Vamos precisar expandir y como uma série do tipo
2 x y’’ + (3 - 4 x) y’ + (2 x - 3) y = 0
usando o método de Frobenius em torno de x = 0. Vamos precisar expandir y como uma série do tipo
entender o ponto singular em x=0 e encontrar o polinômio indicial e a recorrência dos coeficientes.
Passo 2
Substituindo y, y’ e y’’ na série em
2 x \sum a_n (n+r)(n+r-1)x^{n+r-2} + (3 - 4x) \sum a_n (n+r)x^{n+r-1} + (2x -3) \sum a_n x^{n+r} = 0
e coletando as potências de x, chegamos ao polinômio indicial
2 x \sum a_n (n+r)(n+r-1)x^{n+r-2} + (3 - 4x) \sum a_n (n+r)x^{n+r-1} + (2x -3) \sum a_n x^{n+r} = 0
e coletando as potências de x, chegamos ao polinômio indicial
ão que dá as raízes r_1=0 e r_2=-\tfrac12.
Passo 3
As duas raízes diferem em não inteiro, então teremos duas soluções independentes. A recorrência geral fica:
Passo 4
Para a primeira raiz r=0, tomamos a_0=1 e então
a_1=\tfrac{3}{1\cdot3}=1, a_2=\tfrac{5}{2\cdot5}=\tfrac12, a_3=\tfrac{7/2}{3\cdot7}=\tfrac16, …
Isso gera a série
a_1=\tfrac{3}{1\cdot3}=1, a_2=\tfrac{5}{2\cdot5}=\tfrac12, a_3=\tfrac{7/2}{3\cdot7}=\tfrac16, …
Isso gera a série
Passo 5
Para a segunda raiz r=-\tfrac12, também com a_0=1, obtemos a_1=1, a_2=\tfrac12, a_3=\tfrac16, …
Assim
Assim
Resposta
Uma base de soluções é dado por
y_1(x)=e^x,
y_2(x)=x{-1/2}ex.
y_1(x)=e^x,
y_2(x)=x{-1/2}ex.