Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
Passo 1
Dado o exercício “(x+2)^{2} y’’ - 2 y = 0”, vamos usar o Método de Frobenius para encontrar duas soluções independentes. O conteúdo aqui é EDO em torno de um ponto singular regular (x=-2), então vamos precisar: identificar a singularidade, propor a série de Frobenius, obter a equação indicial e, a partir dela, as recorrências que geram as soluções.
Passo 2
Para deslocar o ponto singular para a origem, definimos z = x + 2. Assim a equação fica:
$$z^{2},y’’(z) ;-
;2,y(z)=0$$
Note que agora o ponto z=0 é singular regular.
Note que agora o ponto z=0 é singular regular.
Passo 3
Propomos a forma de Frobenius
Calculamos as derivadas e substituímos:
então a equação vira
Reagrupando os mesmos poderes de z:
Passo 4
O primeiro coeficiente (n=0) dá a equação indicial:
Resolvendo, r^{2}-r-2=0 gera r_{1}=2 e r_{2}=-1.
Passo 5
Como as raízes não diferem por um inteiro, cada r dá uma solução independente. Para r=r_{1} e r=r_{2}, a recorrência é
que mostra a_{n}=0 para n\ge1. Assim cada solução é apenas o termo de ordem zero: y=a_{0}z^{r}.
Passo 6
Voltando à variável original x, com z=x+2, obtemos as duas soluções independentes:
(i) para r_{1}=2: y_{1}=(x+2)^{2},
(ii) para r_{2}=-1: y_{2}=(x+2)^{-1}.
(i) para r_{1}=2: y_{1}=(x+2)^{2},
(ii) para r_{2}=-1: y_{2}=(x+2)^{-1}.
Resposta
Uma base de soluções é
y_{1}(x)=(x+2)^{2},
y_{2}(x)=\frac{1}{x+2}.
y_{1}(x)=(x+2)^{2},
y_{2}(x)=\frac{1}{x+2}.