Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
(x+2)^2 y^prime prime-2 y=0

Passo 1

Dado o exercício “(x+2)^{2} y’’ - 2 y = 0”, vamos usar o Método de Frobenius para encontrar duas soluções independentes. O conteúdo aqui é EDO em torno de um ponto singular regular (x=-2), então vamos precisar: identificar a singularidade, propor a série de Frobenius, obter a equação indicial e, a partir dela, as recorrências que geram as soluções.

Passo 2

Para deslocar o ponto singular para a origem, definimos z = x + 2. Assim a equação fica:
$$z^{2},y’’(z) ;-
;2,y(z)=0$$
Note que agora o ponto z=0 é singular regular.

Passo 3

Propomos a forma de Frobenius
y(z)=sumn=0^inftyan,z^n+r, a0neq0
Calculamos as derivadas e substituímos:
y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1),z^n+r-2,
então a equação vira
z^2sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)z^n+r-2-2sumn=0^inftyanz^n+r=0
Reagrupando os mesmos poderes de z:
sumn=0^inftyl[(n+r)(n+r-1)-2r]anz^n+r=0

Passo 4

O primeiro coeficiente (n=0) dá a equação indicial:
r(r-1)-2=0
Resolvendo, r^{2}-r-2=0 gera r_{1}=2 e r_{2}=-1.

Passo 5

Como as raízes não diferem por um inteiro, cada r dá uma solução independente. Para r=r_{1} e r=r_{2}, a recorrência é
l[(n+r)(n+r-1)-2r]an=0, n>=1,
que mostra a_{n}=0 para n\ge1. Assim cada solução é apenas o termo de ordem zero: y=a_{0}z^{r}.

Passo 6

Voltando à variável original x, com z=x+2, obtemos as duas soluções independentes:
(i) para r_{1}=2: y_{1}=(x+2)^{2},
(ii) para r_{2}=-1: y_{2}=(x+2)^{-1}.

Resposta

Uma base de soluções é
y_{1}(x)=(x+2)^{2},
y_{2}(x)=\frac{1}{x+2}.

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