Calcule os seguintes limites:
lim x 1 x^3-x^2+x-1x^2+x-2

Passo 1

Beleza, vamos calcular esse limite: lim x 1 x^3-x^2+x-1x^2+x-2. Estamos lidando com cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x diretamente na expressão para ver o que acontece:
1^3 - 1^2 + 1 - 11^2 + 1 - 2 = 1 - 1 + 1 - 11 + 1 - 2 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para prosseguir.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo comum.
Numerador: x^3 - x^2 + x - 1
Podemos agrupar os termos:
x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)
Denominador: x^2 + x - 2
Fatorando:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x^2 + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 1)
Perceba que o termo (x - 1) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo (desde que x neq 1, o que é válido para limites):
x^2 + 1x + 2
Agora, podemos substituir x = 1 na expressão simplificada:
1^2 + 11 + 2 = 1 + 13 = 23

Resposta

23

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