Calcule os seguintes limites:
lim x -infty raizx^2+x+33 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -infty raizx^2+x+33 x+1. Estamos trabalhando com limites no infinito, especificamente quando $ x $ vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando os valores de $ x $ ficam muito grandes (positivos ou negativos). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz no numerador: $ \sqrt{x^{2} + x + 3} $. Quando $ x $ tende a menos infinito, $ x^{2} $ domina os outros termos porque cresce muito mais rápido que $ x $ ou 3. Então, podemos simplificar a raiz considerando apenas $ x^{2} $.

Passo 3

Podemos fatorar $ x^{2} $ de dentro da raiz:
x^2
Como $ x $ está indo para menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
raizx^2+x+33x+1 = -x raiz1 + 1x + 3x^23x + 1
Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por $ x $:
x

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando $ x $ tende a menos infinito:
  • $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{3}{x^{2}} $ vão para 0.
  • Então, a expressão dentro da raiz se aproxima de 1.
Portanto:
x

Resposta

O limite é igual a -13.

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