Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Estamos trabalhando com limites no infinito, especificamente quando $ x $ vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando os valores de $ x $ ficam muito grandes (positivos ou negativos). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz no numerador: $ \sqrt{x^{2} + x + 3} $. Quando $ x $ tende a menos infinito, $ x^{2} $ domina os outros termos porque cresce muito mais rápido que $ x $ ou 3. Então, podemos simplificar a raiz considerando apenas $ x^{2} $.
Passo 3
Podemos fatorar $ x^{2} $ de dentro da raiz:
Como $ x $ está indo para menos infinito, $ x $ é negativo, então $ |x| = -x $.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por $ x $:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ x $ tende a menos infinito:
- $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{3}{x^{2}} $ vão para 0.
- Então, a expressão dentro da raiz se aproxima de 1.
Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.