Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x^2-a^2x^2+2 a x+a^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto 0 x^2 - a^2x^2 + 2ax + a^2, um problema de limite de função racional em que vamos usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Começamos fatorando numerador e denominador. Sabemos que x^2 - a^2 é diferença de quadrados e que x^2 + 2ax + a^2 é quadrado perfeito, então temos:
x^2 - a^2 = (x - a)(x + a),
x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2

Passo 3

A expressão original fica
x^2 - a^2x^2 + 2ax + a^2 = (x - a)(x + a)(x + a)^2 = x - ax + a, desde que x + a neq 0. Agora aplicamos o limite nessa forma simplificada:

Passo 4

Ao levar x to 0, substituímos diretamente na expressão simplificada:
limxto0 x - ax + a = 0 - a0 + a = -1

Resposta

-1

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