Use a decomposição em frações parciais para calcular a integral
integral 1(x-1)^2(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função racional usando a decomposição em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar quebrar a fração dada em partes menores que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, observe a expressão que queremos integrar:
1(x-1)^2(x-2)
Vamos escrever essa fração como uma soma de frações parciais. Como o denominador (x-1)^2(x-2) tem fatores lineares repetidos, a decomposição será:
1(x-1)^2(x-2) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx-2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (x-1)^2(x-2) para eliminar os denominadores:
1 = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2
Agora, vamos escolher valores de x que simplificam a equação.
  • Escolha x = 1:
1 = A(0)(-1) + B(-1) + C(0) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
  • Escolha x = 2:
1 = A(1)(0) + B(0) + C(1)^2 Rightarrow 1 = C Rightarrow C = 1
Para encontrar A, podemos escolher outro valor para x, como x = 0:
1 = A(-1)(-2) + B(-2) + C(1)^2 Rightarrow 1 = 2A + 2 + 1
1 = 2A + 3 Rightarrow 2A = -2 Rightarrow A = -1

Passo 4

Agora que temos os valores:
A = -1, B = -1, C = 1
Podemos reescrever a fração original:
1(x-1)^2(x-2) = -1x-1 + -1(x-1)^2 + 1x-2

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x-1 , dx = -ln|x-1|
integral -1(x-1)^2 , dx = 1x-1
integral 1x-2 , dx = ln|x-2|

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-ln|x-1| + 1x-1 + ln|x-2| + C
Onde C é a constante de integração.

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