Use a decomposição em frações parciais para calcular a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função racional usando a decomposição em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar quebrar a fração dada em partes menores que a gente consegue integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, observe a expressão que queremos integrar:
Vamos escrever essa fração como uma soma de frações parciais. Como o denominador
tem fatores lineares repetidos, a decomposição será:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação.
- Escolha
:
- Escolha
:
Para encontrar
, podemos escolher outro valor para
, como
:
Passo 4
Agora que temos os valores:
Podemos reescrever a fração original:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.