Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
integral raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raizx^2+1,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve transformar a raíz em função trigonométrica via x=tantheta e integrar funções de sectheta, além de esboçar o triângulo associado.

Passo 2

Fazemos a substituição x=tantheta. Assim, temos
dx=sec^2theta,dthetaeraizx^2+1=raiztan^2theta+1=sectheta
O triângulo retângulo associado a theta tem cateto oposto de comprimento x, cateto adjacente 1 e hipotenusa raizx^2+1, pois tantheta=tfracx1 e sectheta=tfracraizx^2+11

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral raizx^2+1,dx=integral secthetacdotsec^2theta,dtheta=integral sec^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar integralsec^3theta,dtheta, usamos integração por partes escolhendo u=sectheta e dv=sec^2theta,dtheta. Então
du=secthetatantheta,dtheta, v=tantheta
Logo,
integral sec^3theta,dtheta=secthetatantheta-integral tanthetacdot(secthetatantheta),dtheta

Passo 5

Como tan^2theta=sec^2theta-1, temos
integral sec^3theta,dtheta=secthetatantheta-integral sectheta(sec^2theta-1),dtheta =secthetatantheta-integral sec^3theta,dtheta+integral sectheta,dtheta
Isolando integralsec^3theta,dtheta e lembrando que integral sectheta,dtheta=ln|sectheta+tantheta|, resulta
integral sec^3theta,dtheta=tfrac12l(secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta|r)+C

Passo 6

Voltando à variável x, usamos sectheta=raizx^2+1 e tantheta=x. Assim,
integral raizx^2+1,dx=tfrac12l(xraizx^2+1+ln|x+raizx^2+1|r)+C

Resposta

tfracxraizx^2+12+tfrac12lnlvert x+raizx^2+1rvert+C

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