Verifique se os seguintes limites existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o limite
existe. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites e funções, especificamente envolvendo funções trigonométricas e a função parte inteira. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. É a função seno, que para valores próximos de 0, se comporta como
. Agora,
representa a parte inteira de
, ou seja, o maior inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0 por valores positivos e negativos.
- Se
(positivamente), é positivo e bem perto de 0, então . - Se
(negativamente), é negativo e bem perto de 0, então .
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
e, próximo de 0,
está muito perto de 1. Portanto,
.
Passo 5
Vamos calcular o limite à direita (
):
Passo 6
Agora, o limite à esquerda (
):
Passo 7
Como os limites laterais são diferentes (
), isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.