Verifique se os seguintes limites existem:
lim x 0(cos (x)-[[sen(x)]])

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o limite lim x 0(cos (x)-[[sin(x)]]) existe. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites e funções, especificamente envolvendo funções trigonométricas e a função parte inteira. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é sin(x). É a função seno, que para valores próximos de 0, se comporta como sin(x) approx x. Agora, [[ sin(x) ]] representa a parte inteira de sin(x), ou seja, o maior inteiro que é menor ou igual a sin(x). Por exemplo, [[0,5]] = 0 e [[-0,5]] = -1.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de sin(x) quando x se aproxima de 0 por valores positivos e negativos.
  • Se x 0^+ (positivamente), sin(x) é positivo e bem perto de 0, então [[ sin(x) ]] = 0.
  • Se x 0^- (negativamente), sin(x) é negativo e bem perto de 0, então [[ sin(x) ]] = -1.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com cos(x) quando x se aproxima de 0. Sabemos que cos(0) = 1 e, próximo de 0, cos(x) está muito perto de 1. Portanto, cos(x) approx 1.

Passo 5

Vamos calcular o limite à direita ( x 0^+):
lim x 0^+(cos (x)-[[sin(x)]]) = lim x 0^+(cos (x) - 0) = 1 - 0 = 1

Passo 6

Agora, o limite à esquerda ( x 0^-):
lim x 0^-(cos (x)-[[sin(x)]]) = lim x 0^-(cos (x) - (-1)) = 1 + 1 = 2

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ( 1 neq 2), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados