Sobre a região entre as curvas f(x)=(x-1)^2+1 e g(x)=2x+1,
calcule a área da região entre as curvas.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas f(x)=(x-1)^2+1 e g(x)=2x+1. Vamos usar cálculo de área entre curvas, que envolve encontrar onde elas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Precisamos achar os pontos de interseção resolvendo f(x)=g(x):
(x-1)^2+1 = 2x+1
Expandindo e simplificando:
x^2 -2x +1 +1 = 2x+1 x^2 -4x +1 = 0 x = 4 pm raiz16 -42 = 2 pm raiz3
Logo, os limites de integração são a = 2-raiz3 e b = 2+raiz3.

Passo 3

Para saber qual curva fica acima no intervalo [a,b], testamos um ponto, digamos x=1:
f(1)=1 e g(1)=3
Como g(1)>f(1), concluímos que g(x) está acima de f(x) em todo o intervalo.

Passo 4

A área pedida é
A = integral2-raiz3^2+raiz3 l(g(x)-f(x)r),dx = integral2-raiz3^2+raiz3 l((2x+1)-[(x-1)^2+1]r),dx

Passo 5

Simplificando o integrando:
(2x+1)-[(x-1)^2+1] = 2x+1 - (x^2 -2x +2) = -x^2 +4x -1
Uma antiderivada é
F(x) = -x^33 + 2x^2 - x

Passo 6

Agora avaliamos nos limites:
A = F(2+raiz3) - F(2-raiz3) = l(10/3 + 2raiz3r) - l(10/3 - 2raiz3r) = 4raiz3

Resposta

4raiz3

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