Sobre a função
f(x)=x^2(x+1)(x-1),
escreva f(x) como soma de frações parciais;

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função f(x)=x^2(x+1)(x-1) em frações parciais. O conteúdo aqui é decomposição de fração racional, e vamos precisar fatorar o denominador, comparar graus do numerador e do denominador e, se preciso, fazer divisão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, note que o denominador já está fatorado como (x+1)(x-1) e que o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (2). Nesses casos, fazemos a divisão de polinômios ou escrevemos f(x) como soma de um polinômio e uma fração própria. Vamos reescrever
f(x)=x^2x^2-1=1+x^2-(x^2-1)x^2-1=1+1x^2-1

Passo 3

Agora precisamos decompor 1x^2-1 em frações parciais. Como x^2-1=(x-1)(x+1), supomos
1x^2-1=Ax-1+Bx+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1) obtemos
1=A(x+1)+B(x-1)=(A+B)x+(A-B)

Passo 5

Comparando coeficientes em ambos os lados:
  • Coeficiente de x: A+B=0
  • Termo constante: A-B=1

Passo 6

Resolvendo esse sistema:
A+B=0A-B=1Rightarrow A=tfrac12,;B=-tfrac12

Passo 7

Substituindo de volta em f(x):
f(x)=1+1x^2-1=1+tfrac12x-1+-tfrac12x+1=1+12(x-1)-12(x+1)

Resposta

f(x)=1+12(x-1)-12(x+1)

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