Calcule os seguintes limites:
lim x 2 8-x^3x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite limxto 2 8 - x^3x^2 - 2x. O conteúdo é cálculo de limites de funções racionais e vamos precisar usar fatoração e simplificação de expressões para resolver a indeterminação 0/0.

Passo 2

Ao tentar a substituição direta x=2, o numerador fica 8-2^3=0 e o denominador 2^2-2cdot2=0, então temos uma forma indeterminada 0/0. Para resolver isso, vamos fatorar as expressões.
Fatorando o numerador pela diferença de cubos:
8 - x^3 = 2^3 - x^3 = (2 - x)(4 + 2x + x^2)

Passo 3

Fatorando o denominador extraindo x:
x^2 - 2x = x(x - 2)

Passo 4

Observando que (2 - x) = -(x - 2), simplificamos a expressão:
8 - x^3x^2 - 2x = (2 - x)(x^2 + 2x + 4)x(x - 2) = -x^2 + 2x + 4x

Passo 5

Agora a expressão não é mais indeterminada, então substituímos x=2:
-2^2 + 2cdot 2 + 42 = -4 + 4 + 42 = -122 = -6

Resposta

-6

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