Obtenha a derivada das seguinte funções:
f) w(t)=1-t e^tt+e^t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função w(t)=1 - t e^tt + e^t. O conteúdo principal aqui é a regra do quociente de derivadas, e para aplicá-la vamos precisar da derivada do numerador e do denominador separadamente.

Passo 2

Vamos definir g(t)=1 - t e^t (que é o numerador) e h(t)=t + e^t (que é o denominador). Agora calculamos as derivadas:
Para g(t)=1 - t e^t, usamos a regra do produto em t e^t, ou seja, (t e^t)' = e^t + t e^t. Assim,
g'(t) = 0 - (e^t + t e^t) = -e^t(1 + t)

Passo 3

Para h(t)=t + e^t, é direto:
h'(t) = 1 + e^t

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
w'(t)=g'(t),h(t) - g(t),h'(t)[h(t)]^2

Passo 5

Substituindo g,g',h,h' e expandindo o numerador, depois simplificando termos semelhantes, obtemos
w'(t)=-1 - e^t - t^2 e^t - e^2t(t + e^t)^2

Resposta

w'(t)=-dfrac1 + e^t + t^2 e^t + e^2t(t + e^t)^2.

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