Calcule os seguintes limites:
lim x -2 -2 x^3-2 x^2-8x^5+x^4-6 x+4

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto -2-2x^3-2x^2-8x^5+x^4-6x+4
Isso é um limite de quociente de polinômios, e ao substituir x=-2 vamos obter forma indeterminada 0/0. Para resolver, precisaremos fatorar numerador e denominador e cancelar o fator comum.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada pela substituição direta:
-2(-2)^3-2(-2)^2-8 = -2(-8)-2cdot4-8 = 16 -8 -8 = 0,
(-2)^5+(-2)^4-6(-2)+4 = -32 +16 +12 +4 = 0
Logo obtemos 0/0, ou seja, é preciso fatorar os polinômios.

Passo 3

Fatoramos o numerador -2x^3-2x^2-8:
-2x^3-2x^2-8 = -2l(x^3+x^2+4r)
Agora dividimos x^3+x^2+4 por x+2 (por exemplo via divisão sintética) e achamos quociente x^2-x+2 e resto zero. Assim
-2x^3-2x^2-8 = -2,(x+2),(x^2-x+2)

Passo 4

Fatoramos o denominador x^5+x^4-6x+4. Dividindo por x+2 temos (coeficientes 1,1,0,0,-6,4) quociente x^4-x^3+2x^2-4x+2 e resto zero. Então
x^5+x^4-6x+4 = (x+2),(x^4-x^3+2x^2-4x+2)

Passo 5

Cancelamos o fator comum x+2 e obtemos
limxto -2-2,(x+2),(x^2-x+2)(x+2),(x^4-x^3+2x^2-4x+2) = limxto -2-2,(x^2-x+2)x^4-x^3+2x^2-4x+2
Agora basta substituir x=-2:
x^2-x+2l|x=-2=4+2+2=8, x^4-x^3+2x^2-4x+2l|x=-2=16+8+8+8+2=42
Logo o limite vale
-2cdot 842 = -1642 = -821

Resposta

-821

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