integralC cosh 4 z d z com C sendo qualquer caminho de -pi i / 8 a pi i / 8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral complexa
integralCcosh(4z),dz
sendo C qualquer caminho que vai de -pi i/8 até pi i/8. O conteúdo aqui é integração de funções inteiras em variável complexa: como cosh(4z) é inteira, a integral independe do caminho e basta usar uma primitiva (Teorema Fundamental do Cálculo).

Passo 2

Encontramos uma primitiva de cosh(4z). Como
ddzsinh(4z)=4cosh(4z),
uma primitiva é
F(z)=14sinh(4z)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha,
integralCcosh(4z),dz = Fl(pi i/8r) - Fl(-pi i/8r)

Passo 3

Substituindo os extremos em F,
integralCcosh(4z),dz = 14l[sinhl(4cdot(pi i/8)r)-sinhl(4cdot(-pi i/8)r)r] = 14l[sinh(pi i/2)-sinh(-pi i/2)r]
Usamos a identidade sinh(itheta)=isin(theta), então
sinh(pi i/2)=isin(pi/2)=i, sinh(-pi i/2)=-,i
A diferença é i-(-i)=2i, e multiplicando por 1/4 vem i/2.

Resposta

i2

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