integralC(z+z^-1) d z com C sendo o círculo unitário (sentido anti-horário)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCl(z + z^-1r),dz
onde C é o círculo unitário lvert zrvert=1 orientado no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é integração de funções complexas e vamos usar separação de termos e parametrização.

Passo 2

Separamos a integral em duas:
ointCl(z + z^-1r),dz =ointCz,dz ;+;ointCz^-1,dz

Passo 3

A função f(z)=z é inteira (analítica em todo o plano), logo sua integral sobre qualquer curva fechada é zero por Teorema de Cauchy:
ointCz,dz = 0

Passo 4

Para ointCz^-1,dz usamos a parametrização z=e^itheta, com theta de 0 a 2pi. Então
dz = i,e^itheta,dtheta, z^-1=e^-itheta,
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ointCz^-1,dz =integral0^2pie^-ithetal(i,e^ithetar)dtheta =iintegral0^2pidtheta =2pi i

Passo 5

Somando os dois resultados:
ointCl(z + z^-1r),dz =0 + 2pi i =2pi i

Resposta

2pi i

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