Um pequeno foguete experimental é lançado verticalmente, e sua aceleração medida (em m / s^2 ) é modelada pela função vetorial:
a(t)=(0,0,6 t), para 0 <= t <= 5 segundos
Sabendo que no instante inicial t=0 :
  • A posição do foguete é r(0)=(0,0,0).
  • Sua velocidade inicial é v(0)=(0,0,0).

Determine:

  1. A altura máxima atingida pelo foguete em t=5 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração vetorial do foguete
vec a(t) = (0,0,6t), 0<= t<=5
com vec v(0)=(0,0,0) e vec r(0)=(0,0,0), e pede a altura máxima em t=5.
Para isso vamos integrar vec a(t) para obter vec v(t) e depois integrar vec v(t) para obter vec r(t).

Passo 2

Integramos a aceleração de 0 a t para achar a velocidade:
vec v(t) = integral0^tvec a(tau),dtau + vec v(0) = integral0^t(0,0,6tau),dtau + (0,0,0) = (0,0,3t^2)

Passo 3

Agora integramos vec v(t) de 0 a t para achar a posição:
vec r(t) = integral0^tvec v(tau),dtau + vec r(0) = integral0^t(0,0,3tau^2),dtau + (0,0,0) = (0,0,t^3)

Passo 4

A componente vertical da posição é rz(t)=t^3. Como rz'(t)=3t^2>=0 em [0,5], a altura cresce sempre e atinge o máximo em t=5. Calculamos:
rz(5)=5^3=125

Resposta

A altura máxima atingida em t=5 é 125 metros.

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